如图,已知圆O的直径AB=4,定直线L到圆心的距离为4,且直线L垂直直线AB.点P是圆O上异于A,B的任意一点,直线PA试几种解法？
来源：学生作业帮助网 编辑：六六作业网 时间：2024/12/18 23:59:06
如图,已知圆O的直径AB=4,定直线L到圆心的距离为4,且直线L垂直直线AB.点P是圆O上异于A,B的任意一点,直线PA试几种解法？
如图,已知圆O的直径AB=4,定直线L到圆心的距离为4,且直线L垂直直线AB.点P是圆O上异于A,B的任意一点,直线PA
试几种解法？
如图,已知圆O的直径AB=4,定直线L到圆心的距离为4,且直线L垂直直线AB.点P是圆O上异于A,B的任意一点,直线PA试几种解法？
（Ⅰ）建立如图所示的直角坐标系,由于⊙O的方程为x2+y2=4,…（2分）
直线L的方程为x=4,∵∠PAB=30°,∴点P的坐标为（1,√3）,
∴lAP：y=√3/3（x+2）,lBP：y=-√3（x-2）．
将x=4代入,得M（4,2√3）,N（4,-2√3）．
∴MN的中点坐标为（4,0）,MN=4√3
．∴以MN为直径的圆的方程为（x-4）2+y2=12．
同理,当点P在x轴下方时,所求圆的方程仍是 （x-4）2+y2=12．…（6分）
（Ⅱ）设点P的坐标为（x0,y0）,∴x02+y02=4 （y0≠0）,∴y02=4-x02．
∵lAP：y=√3/3（x+2）,lBP：y=√-3（x-2）,将x=4代入,得 yM=6y0/(x0+2 )
,yN=2y0/(x0-2 )
．
∴M（4,6y/(x0+2) ）、N（4,2y0/(x0-2）,MN=6y0/(x0+2)-2y0(x0-2)=4|x0-4|/|y0|
,
故MN的中点坐标为（4,4(x0-1)/y0）．…（10分）
以MN为直径的圆截x轴的线段长度为 2√[4(x0-4)2/y02-16(x0-1)2/y02]=4/|y0|•√(12-3x02)=4√3/|y0|•√(4-x02)=4√3/|y0|•| y0|=4√3 为定值．
∴⊙O′必过⊙O 内定点（4-2√3 ,0）．…（12分）