设函数f(x)的定义域是(0,+∞),对任意正实数m,n恒有f(mn)=f(m)+f(n),且当x＞1时,f(x)>0,f(2)=1求方程4sinx=f（x）的根的个数.
来源：学生作业帮助网 编辑：六六作业网 时间：2024/11/23 08:36:02
设函数f(x)的定义域是(0,+∞),对任意正实数m,n恒有f(mn)=f(m)+f(n),且当x＞1时,f(x)>0,f(2)=1求方程4sinx=f（x）的根的个数.
设函数f(x)的定义域是(0,+∞),对任意正实数m,n恒有f(mn)=f(m)+f(n),且当x＞1时,f(x)>0,f(2)=1
求方程4sinx=f（x）的根的个数.
设函数f(x)的定义域是(0,+∞),对任意正实数m,n恒有f(mn)=f(m)+f(n),且当x＞1时,f(x)>0,f(2)=1求方程4sinx=f（x）的根的个数.
（1）令m=n=1,则f（1）=f（1）+f（1）,
∴f（1）=0（2分）
令$m=2,n=\frac{1}{2}$,则$f（1）=f（2×\frac{1}{2}）=f（2）+f（\frac{1}{2}）$,
∴$f（\frac{1}{2}）=f（1）-f（2）=-1$（4分）
（2）设0＜x1＜x2,则$\frac{x_2}{x_1}＞1$
∵当x＞1时,f（x）＞0
∴$f（\frac{x_2}{x_1}）＞0$（6分）
$f（{x_2}）=f（{x_1}×\frac{x_2}{x_1}）=f（{x_1}）+f（\frac{x_2}{x_1}）＞f（{x_1}）$（9分）
所以f（x）在（0,+∞）上是增函数（10分）
（3）∵y=4sinx的图象如右图所示
又f（4）=f（2×2）=2,f（16）=f（4×4）=4
由y=f（x）在（0,+∞）上单调递增,
且f（1）=0,f（16）=4可得y=f（x）的图象大致形状如右图所示,
由图象在[0,2π]内有1个交点,
在（2π,4π]内有2个交点,
在（4π,5π]内有2个交点,又5π＜16＜6π,
后面y=f（x）的图象均在y=4sinx图象的上方．
故方程4sinx=f（x）的根的个数为5个（16分）
f（x）=4sinx 好像与条件f(2)=1不符....