已知x+y+z=3,且（x-1）立方+（y-1）立方+（z-1）立方=0,求证x,y,z中至少有一个为1

来源：学生作业帮助网 编辑：六六作业网 时间：2024/12/22 21:16:14
已知x+y+z=3,且（x-1）立方+（y-1）立方+（z-1）立方=0,求证x,y,z中至少有一个为1已知x+y+z=3,且（x-1）立方+（y-1）立方+（z-1）立方=0,求证x,y,z中至少有

已知x+y+z=3,且（x-1）立方+（y-1）立方+（z-1）立方=0,求证x,y,z中至少有一个为1
已知x+y+z=3,且（x-1）立方+（y-1）立方+（z-1）立方=0,求证x,y,z中至少有一个为1

已知x+y+z=3,且（x-1）立方+（y-1）立方+（z-1）立方=0,求证x,y,z中至少有一个为1
由已知得：(x－1)＋(y－1)＋(z－1)＝0
又(x－1)^3＋(y－1)^3＋(z－1)^3
＝[(x－1)＋(y－1)＋(z－1)]·[(x－1)^2＋(y－1)^2＋(z－1)^2－(x－1)(y－1)－(y－1)(z－1)－(z－1)(x－1)]＋3(x－1)(y－1)(z－1)
＝3(x－1)(y－1)(z－1)
而(x－1)^3＋(y－1)^3＋(z－1)^3＝0
∴3(x－1)(y－1)(z－1)＝0
∴x－1、y－1、z－1中至少有一个为零
即x、y、z中至少有一个为1

用到了一个结论：
a^3＋b^3＋c^3＝(a＋b＋c)(a^2＋b^2＋c^2－ab－bc－ca)＋3abc
当a＋b＋c＝0时,则a^3＋b^3＋c^3＝3abc

证明：
用反证法， 设x，y，z分别为1+a，1+b，1+c，其中a≠0，b≠0，c≠0
那么由题意有a+b+c=0--------------------①
a^3+b^3+c^3=0--------------②
由①有：a=-(b+c)--------------------③
将③代入②得到...

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证明：
用反证法， 设x，y，z分别为1+a，1+b，1+c，其中a≠0，b≠0，c≠0
那么由题意有a+b+c=0--------------------①
a^3+b^3+c^3=0--------------②
由①有：a=-(b+c)--------------------③
将③代入②得到：
-(b+c)^3+b^3+c^3=0,化简得到：
3bc(b+c)=0
因为b≠0，c≠0，那么b+c=0
那么由③得到a=-(b+c)=0,与题设矛盾

得证。
希望能帮到你~

收起

根据公式　a^3+b^3+c^3-3abc=(a+b+c)(a^2+b^2+c^2-ab-bc-ac)
可得出（x-1）立方+（y-1）立方+（z-1）立方-3（x-1）（y-1）（z-1）
=（x+y+z-3）[（x-1）^2+（y-1）^2+（z-1）^2-（x-1）（y-1）-（y-1）（z-1）-（z-1）（x-1）]
=0
即3（x-1）（y-1）（z-...

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根据公式　a^3+b^3+c^3-3abc=(a+b+c)(a^2+b^2+c^2-ab-bc-ac)
可得出（x-1）立方+（y-1）立方+（z-1）立方-3（x-1）（y-1）（z-1）
=（x+y+z-3）[（x-1）^2+（y-1）^2+（z-1）^2-（x-1）（y-1）-（y-1）（z-1）-（z-1）（x-1）]
=0
即3（x-1）（y-1）（z-1）=0，所以x，y，z中至少有一个为1

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已知x+y+z=3,且（x-1）立方+（y-1）立方+（z-1）立方=0,求证x,y,z中至少有一个为1 已知根号x的立方=4,且（y-2z+1）的平方+根号z-3的4次方,求根号x+y的立方+z的立方的立方. 急啊! 已知x的立方根=4,且y-2z+1的平方根=（z-3）的差的平方=0,求x的立方+y的立方+z的立方的和的立方根的值 已知根号x的立方=4,且（y-2z+1）的平方+根号z-3的4次方,求根号3x+y的立方+z的立方的值 已知x的立方根=4,且√（y-2z+1）+（z-3）的平方=0,求x+y的立方+z的立方的值 已知x的立方根=4,且（y-2z+1）的平方+4次根号z-3=0,求x+y的立方+z的立方的和的立方根 已知A=2x的立方-xyz,B=y的立方-z的立方+xyz,C=-x的立方+2y的立方-xyz,且（x+1）的平方+|y-1|+|z|=0,求A-(2B-3C)的值. 已知A=2x的立方-xyz,B=y的立方-z的平方+xyz,C=-x的立方+2y的立方-xyz,且（x+1）的平方加（y-1）的绝对值+z的绝对值=0,求A-（2B-3C）的值求讲解 已知（x+y-xy）/(x+y+2xy)=(y+z-2yz)/(y+z+3yz)=(z+x-3zx)/(z+x+4zx),且2/x=3/y-1/z,则xyz=? 已知x,y,z∈R+,且x+y+z=3,求证：x^2/（y^2+z^2+yz）+y^2/(x^2+z^2+zx）+z^2/(x^2+y^2+xy)≥1 已知x,y,z都是正数,且xyz=1,求证：x^2/(y+z)+y^2/(x+z)+z^2/(x+y)≥3/2 设2006X立方=2007Y立方＝2008Z立方,且X.Y.Z>0,且（2006X平方+2007Y平方设2006X立方=2007Y立方＝2008Z立方,且X.Y.Z>0,且（2006X平方+2007Y平方+2008Z平方）的3次平方根=2006的3次平方根+2007的3次平方根+2008的3次平 已知有理数x.y.z,且|x-3|+2|y+1|+7(2z+1）的平方=0,x+y+z的相反数的倒数. 已知有理数x,y,z,且|x-3|+2|y+1|+7（2z+1）^2=0,求-(x+y+z)的倒数 已知A=2x的立方-xyz,B=y的立方-z的平方+xyz,C=-x的立方+2y的平方-xyz,且（x+1）的平方+|y-1|+|z|=0,求A-[2B-3(C-A)]的值 代数式的恒等变形3已知（x+y+-z）/z=(x-y+z)/y=(-x+y+z)/x且xyz不等于0求分式（x+y)(y+z）(z+x)/xyz的值 1．若3X平方减X等于1,求6X立方加7X平方减5X加1990的值?2．已知X＋y＋z＝3,且（X－1）的立方＋（Y－1）的立方＋（Z－1）的立方＝0,求证：X,Y,Z中至少有一个等于1．3．分解因式；X的平方减3XY减10Y 已知x+y+z=3,x平方+y平方+z平方=19,x立方+y立方+z立方=30,则a+b=已知x+y+z=3,x平方+y平方+z平方=19,x立方+y立方+z立方=30,则xyz=？