线性代数:为什么这个矩阵可以对角化矩阵对角化,前提是不是特征值不能有相同的吗?否则特征向量有相同的,特征向量矩阵就不可逆了,没法对角化.那么,单位矩阵E呢?特征方程|E-LamdaE|=0,两个解
来源：学生作业帮助网 编辑：六六作业网 时间：2024/11/14 15:04:35
线性代数:为什么这个矩阵可以对角化矩阵对角化,前提是不是特征值不能有相同的吗?否则特征向量有相同的,特征向量矩阵就不可逆了,没法对角化.那么,单位矩阵E呢?特征方程|E-LamdaE|=0,两个解
线性代数:为什么这个矩阵可以对角化
矩阵对角化,前提是不是特征值不能有相同的吗?否则特征向量有相同的,特征向量矩阵就不可逆了,没法对角化.
那么,单位矩阵E呢?特征方程|E-LamdaE|=0,两个解都是1,也就是特征值有两个1,然后求解其次线性方程组(E-LamdaE)x=0的解,发现0=0,任意解.
也就是E可以被任意可逆矩阵P得到P(-1)E(P)=E,结论是显然的.
为什么E的特征值有重复,特征向量解不出任意解,仍然是一个"可被对角化"的矩阵?这个和我的第一话有冲突,那么第一句话是错的?还是E就是一个例外?
线性代数:为什么这个矩阵可以对角化矩阵对角化,前提是不是特征值不能有相同的吗?否则特征向量有相同的,特征向量矩阵就不可逆了,没法对角化.那么,单位矩阵E呢?特征方程|E-LamdaE|=0,两个解
矩阵对角化,前提是不是特征值不能有相同的吗?否则特征向量有相同的,特征向量矩阵就不可逆了,没法对角化.
答：你的这种说法错误!不是说特征值相同就不能对角化,而是：
定理：如果矩阵有n个线性无关的特征向量,则矩阵可对角化
也就是说：只要重特征值有重根数的线性无关向量,那么特也可以对角化（不同特征值,对应的特征项向量一定线性无关）
那么,单位矩阵E呢?特征方程|E-LamdaE|=0,两个解都是1,也就是特征值有两个1,然后求解其次线性方程组(E-LamdaE)x=0的解,发现0=0,任意解.
也就是E可以被任意可逆矩阵P得到P(-1)E(P)=E,结论是显然的.
问题是：为什么E的特征值有重复,特征向量解不出任意解,仍然是一个"可被对角化"的矩阵?这个和我的第一话有冲突,那么第一句话是错的?还是E就是一个例外?
答
因为E的特征值为1,而(E-LamdaE)x=0的解,有n个线性无关的解,即有n个线性无关的特征向量,那么就可以对角化,而不是什么特例的说法!
首先，这个E的特征值是N重的，即一个N*N的矩阵有N个特征值 另外，矩阵对角化的前提是特征值要不相同？我从来没有听说过……