已知数列{an}{bn}满足a1=3,当n≧2时,an-1+an=4n,对于任意的正整数n,b1+2*b2+…+2^(n-1)bn=n*an设﹛bn﹜的前n项和为Sn(1)求数列{an}的通项公式 （2）求满足13＜Sn＜14的集合
来源：学生作业帮助网 编辑：六六作业网 时间：2024/11/27 13:01:02
已知数列{an}{bn}满足a1=3,当n≧2时,an-1+an=4n,对于任意的正整数n,b1+2*b2+…+2^(n-1)bn=n*an设﹛bn﹜的前n项和为Sn(1)求数列{an}的通项公式 （2）求满足13＜Sn＜14的集合
已知数列{an}{bn}满足a1=3,当n≧2时,an-1+an=4n,对于任意的正整数n,b1+2*b2+…+2^(n-1)bn=n*an
设﹛bn﹜的前n项和为Sn
(1)求数列{an}的通项公式 （2）求满足13＜Sn＜14的集合
已知数列{an}{bn}满足a1=3,当n≧2时,an-1+an=4n,对于任意的正整数n,b1+2*b2+…+2^(n-1)bn=n*an设﹛bn﹜的前n项和为Sn(1)求数列{an}的通项公式 （2）求满足13＜Sn＜14的集合
1.
n≥2时,
a(n-1)+an=4n (1)
an+a(n+1)=4(n+1) (2)
(2)-(1)
a(n+1)-a(n-1)=4,为定值.
a(n+1)-an+an-a(n-1)=4
a(n+1)-an -2=-[an-a(n-1)-2]
a1+a2=4×2 a2=4×2-a1=8-3=5
a2-a1-2=5-3-2=0
数列{a(n+1)-an-2}是各项均为0的常数数列.
a(n+1)-an=2,为定值.数列{an}是以3为首项,2为公差的等差数列.
an=3+2(n-1)=2n+1
数列{an}的通项公式为an=2n+1
2.
b1+2b2+...+2^(n-1)×bn=nan (1)
b1+2b2+...+2^(n-2)×b(n-1)=(n-1)a(n-1) (2)
(1)-(2)
2^(n-1)×bn=nan-(n-1)a(n-1)=n(2n+1)-(n-1)[2(n-1)+1]=4n-1
bn=(4n-1)/2^(n-1)=n/2^(n-3) -1/2^(n-1)
Sn=1/2^(1-3)+2/2^(2 -3)+...+n/2^(n-3) -[1/2^0+1/2^1+...+1/2^(n-1)]
令Cn=1/2^(1-3)+2/2^(2 -3)+...+n/2^(n-3)
则Cn/2=1/2^(2-3)+2/2^(3-3)+...+(n-1)/2^(n-3)+n/2^(n-2)
Cn-Cn/2=Cn/2=1/2^(1-3)+1/2^(2-3)+...+1/2^(n-3)-n/2^(n-2)
=8(1/2^1+1/2^2+...+1/2ⁿ) -n/2^(n-2)
=8×(1/2)×(1-1/2ⁿ)/(1-1/2) -n/2^(n-2)
=8 -8/2ⁿ -4n/2ⁿ
=8-(4n+8)/2ⁿ
Cn=16-(8n+16)/2ⁿ
Sn=Cn-[1/2^0+1/2+...+1/2^(n-1)]
=16-(8n+16)/2ⁿ -(1-1/2ⁿ)/(1-1/2)
=14-(8n+14)/2ⁿ
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