数列 (13 10:2:46)已知数列{an}满足:a1=1,a2=1/2,且a(n+2)=(a(n+1))^2/an+a(n+1)(n属于自然数)求数列{an}的通项公式

来源:学生作业帮助网 编辑:六六作业网 时间:2024/12/25 16:02:30
数列(1310:2:46)已知数列{an}满足:a1=1,a2=1/2,且a(n+2)=(a(n+1))^2/an+a(n+1)(n属于自然数)求数列{an}的通项公式数列(1310:2:46)已知数

数列 (13 10:2:46)已知数列{an}满足:a1=1,a2=1/2,且a(n+2)=(a(n+1))^2/an+a(n+1)(n属于自然数)求数列{an}的通项公式
数列 (13 10:2:46)
已知数列{an}满足:a1=1,a2=1/2,且a(n+2)=(a(n+1))^2/an+a(n+1)(n属于自然数)
求数列{an}的通项公式

数列 (13 10:2:46)已知数列{an}满足:a1=1,a2=1/2,且a(n+2)=(a(n+1))^2/an+a(n+1)(n属于自然数)求数列{an}的通项公式
a(n+2)=(a(n+1))^2/an+a(n+1)
即:ana(n+2)+a(n+1)a(n+2)
=(a(n+1))²
在两边同时除以a(n+1)a(n+2)即有:
an/a(n+1) + 1 = a(n+1)/a(n+2)
所以构造一新数列Cn=an/a(n+1)
所以有:Cn+1=C(n+1)
且C1=a1/a2=2
即数列Cn为一以2为首项,1为公差的等差数列.
所以易得Cn=n+1 (n∈N*)
即an/a(n+1)=n+1 (n∈N*)
所以an-1/an * an-2/an-1 * ……* a1/a2
=n*(n-1)*……2
即:a1/an=n*(n-1)*……2
所以:an=1/(1*2*……*n)
其中(n∈N*)

把a(n+2)=(a(n+1))^2/an+a(n+1)两边同时除以a(n+1)得到a(n+2)/a(n+1)=a(n+1)/an+1,令bn=a(n+1)/an,得到b(n+1)-bn=1,b1=1/2,bn=n-1/2.
b(n-1)*b(n-2)* ……*b(1)=(n-3/2)*(n-5/2)*……*1/2=an*a1,所以an=)=(n-3/2)*(n-5/2)*……*1/2
大体的思路就是这样的,可能计算结果有误

求出a3 a4 a5 a6
可得 a(n+1)=(2n-1)(2n-3).....1除以2的n次方
带入验证
通过求前几项 来猜测an的通项
a(n+2)=(a(n+1))^2/an+a(n+1)推导相对简单些吧
方法不同 看你哪样用的熟

原式两边同除以a(n+1)得:
a(n+2)/a(n+1)=1+ a(n+1)/ an
即a(n+2)/a(n+1)–a(n+1)/ an=1
令bn= a(n+1)/ an
则上式可变为b(n+1)-bn=1
很明显,{bn}为等差数列,且知公差d=1,b1=a2/a1=1/2
由等差数列的通项公式可写出bn=b1+(n-1)d=1/2+(n-1)...

全部展开

原式两边同除以a(n+1)得:
a(n+2)/a(n+1)=1+ a(n+1)/ an
即a(n+2)/a(n+1)–a(n+1)/ an=1
令bn= a(n+1)/ an
则上式可变为b(n+1)-bn=1
很明显,{bn}为等差数列,且知公差d=1,b1=a2/a1=1/2
由等差数列的通项公式可写出bn=b1+(n-1)d=1/2+(n-1)*1=n-1/2
代回,a(n+1)/ an= n-1/2
为了方便后面的计算,上式可进一步变形为
an/a(n+1) = 2/(2n-1)对此式分别令n=1、2、3、…… n-1,得
a1/a2=2/1
a2/a3=2/3
a3/a4=2/5
a4/a5=2/7
……
a(n-1)/an=2/(2n-3)
上面的(n-1)个式子相乘消元得,
1/an=2^(n-1)/[1*3*5*7*9*……*(2n-3)]
所以an=[1*3*5*7*9*……*(2n-3)]/ 2^(n-1)

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