数列{an}中,a1=2,a(1+n)-4an-3n+1,n属于正整数.求证不等式S(n+1)

数列{an}中,a1=2,a(1+n)-4an-3n+1,n属于正整数.求证不等式S(n+1)
数列{an}中,a1=2,a(1+n)-4an-3n+1,n属于正整数.求证不等式S(n+1)

数列{an}中,a1=2,a(1+n)-4an-3n+1,n属于正整数.求证不等式S(n+1)
证明：
a1=2,a(n+1)=4*an-3n+1
设a(n+1)-[p*(n+1)+q]=4*[an-(pn+q)]
a(n+1)=4*an+[p*(n+1)+q]-4(pn+q)
a(n+1)=4*an+(-3p)n+(p-3q)
所以-3p=-3,p-3q=1
解得p=1,q=0
所以a(n+1)-(n+1)=4*[an-n],n≥1,n是整数
a1 -1=1
所以{an -n}是一个以a1 -1为首项,公比为4的等比数列
所以an -n=(a1 -1)*4^(n-1)=4^(n-1),n≥1,n是整数
所以an=n+4^(n-1)
Sn=(1+n)n/2 +1*(1-4^n)/(1-4)
=(n+1)n/2 +(4^n -1)/3
S(n+1)=(n+1)(n+2)/2 +[4^(n+1) -1]/3
∴S(n+1)-4Sn
=(n+1)(n+2-4n)/2 +[4^(n+1) -1-4^(n+1)+4]/3
=(n+1)(2-3n)/2 +1
=(-n+2-3n²+2)/2
=-(3n²+n-4)/2
此函数若看做二次函数,容易知道对称轴是x=-1/6,开口向下,
所以在（-1/6,+∞)上递减
因为n是正整数,n=1时,式子=0
所以n＞1时,值小于0
即对正整数n,
S(n+1)-4Sn≤0
即使S(n+1)≤4Sn恒成立,
得证

a n+1 -(n+1)= 4(an -n);
an-n = 4^n-1;
sn=n*(n+1)/2 + (4^n -1)/3;
sn+1 -4sn>=0