如图,M,N分别是平行四边形ABCD中AB,CD的中点.求证：BE=EF=FD.如题,
来源：学生作业帮助网 编辑：六六作业网 时间：2024/12/23 22:12:59
如图,M,N分别是平行四边形ABCD中AB,CD的中点.求证：BE=EF=FD.如题,
如图,M,N分别是平行四边形ABCD中AB,CD的中点.求证：BE=EF=FD.
如题,
如图,M,N分别是平行四边形ABCD中AB,CD的中点.求证：BE=EF=FD.如题,
思路：观察图形,若要证在同一条直线上的三条线段相等,联想相关的定理,显然是需要构成“平行线等分线段定理的”基本图形,由于M.N分别是AB、CD的中点,因此有AM=MB,DN=NC,若有AN‖MC,则可构造出一组平行线,从而使问题得证.这样,推证AN‖MC成为解决问题的关键.
由于ABCD是平行四边形,因此有AB//=CD,由于M,N分别是AB、CD的中点,因此NC//=AM,从而可推证出AN//CM.这样我们分别过D,B两点作AN的平行线,则“平行线等分线段定理”的基本图形构成使思路形成.
思路二：若我们没有想到“平行线等分线段定理”,而在平行四边形ABCD中,观察到M,N点分别是△DEC及△AFB的CD、AB边的中点,这时,我们自然联想“平行线等分线段定理推论”的基本图形,只需要推证出F点是DE的中点,E点是FB的中点,显然,不论是联想“平行线等分线段定理”的基本图形,还是“平行线等分线段定理推论”的基本图形,其共性特点,即解决问题的关键,都需要推证出AN//MC,两种思路但根据已知条件,推证AN//MC的方法是一样的.
证明一：分别过D、B两点GD//AN,BH//AN 四边形ABCD是平行四边形,CD//=AB.
又 M、N分别是AB、CD的中点,AM//=NC,四边形AMCN是平行四边形,AN//MC.GD//AN//MC//BH.BE=EF=FD（一组平行线在一条直线上截得的线段相等,在其它直线上截得的线段边相等.）
证明二：四边形ABCD是平行四边形,AB//=CD,又 M、N分别是AB、CD的中点,AM//=NC,四边形AMCN是平行四边形.AN//CM.NF//CE,ME//AF.F点是DE的中点,E点是BF的中点.（经过三角形一边的中点,与另一边平行的直线必平分第三边.） FE=FD,BE=FE 即 BE=EF=FD.
说明：平行线等分线段定理及推论常需要与平行四边形及特殊平行四边形的性质综合应用.特别需要注意的是运用平行线等分线段定理的推论是说明中点的.因此,在推证中“点X是中点”这一步是绝不可省略不写的.
证明：
因为四边形ABCD是平行四边形
所以AB//CD（即AM//CN），AB＝CD
因为M、N是AB、CD的中点
所以AM＝CN
所以四边形AMCN是平行四边形
所以AN//MC
所以FD/EF＝DN/NC
因为DN＝NC
所以EF＝FD
同理可证BE＝EF
所以BE＝EF＝FD
am//=cn,ancm是平行四边形，af//me,因am=bm,所以be=ef,同理df=fe