函数f（x）=ax+1/x+2 ,(a为常数）.①若a=1,证明：f(x)在（-2,+∞）上为单调递增函数.②若a＜0,且当x∈（-1,2）时,f(x)的值域为（-3/4,3）,求a的值.
来源：学生作业帮助网 编辑：六六作业网 时间：2024/12/21 09:04:08
函数f（x）=ax+1/x+2 ,(a为常数）.①若a=1,证明：f(x)在（-2,+∞）上为单调递增函数.②若a＜0,且当x∈（-1,2）时,f(x)的值域为（-3/4,3）,求a的值.
函数f（x）=ax+1/x+2 ,(a为常数）.
①若a=1,证明：f(x)在（-2,+∞）上为单调递增函数.
②若a＜0,且当x∈（-1,2）时,f(x)的值域为（-3/4,3）,求a的值.
函数f（x）=ax+1/x+2 ,(a为常数）.①若a=1,证明：f(x)在（-2,+∞）上为单调递增函数.②若a＜0,且当x∈（-1,2）时,f(x)的值域为（-3/4,3）,求a的值.
（1）当a=1时,f(x)=x+1/x+2
设-2＜x1＜x2,∴f(x1)-f(x2)=x1-x2/(x1+2)(x2+2)
∵-2＜x1＜x2,x1＜x2∴（x1+2)(x2+2)＞0,x1-x2＜0
即f(x1)-f(x2)0即a
f(x)=ax+1/x+2？
应该是f(x)=(ax+1)/(x+2)吧？
解1：
f(x)=(ax+1)/(x+2)
有：x≠-2
当a=1时，有：
f(x)=(x+1)/(x+2)
f'(x)=[(x+2)-(x+1)]/(x+2)²
f'(x)=1/(x+2)²
可见，恒有：f'(x)＞0...
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f(x)=ax+1/x+2？
应该是f(x)=(ax+1)/(x+2)吧？
解1：
f(x)=(ax+1)/(x+2)
有：x≠-2
当a=1时，有：
f(x)=(x+1)/(x+2)
f'(x)=[(x+2)-(x+1)]/(x+2)²
f'(x)=1/(x+2)²
可见，恒有：f'(x)＞0
f(x)的单调增区间是
x∈(-∞，-2)∪(-2，∞)。
即：f(x)在(-2，∞)上是单调增函数。
证毕。
解2：
f(x)=(ax+1)/(x+2)
有：x≠-2
f'(x)=[a(x+2)-(ax+1)]/(x+2)²
f'(x)=(2a-1)/(x+2)²
因为：a＜0，所以，恒有：f'(x)＜0
即：f(x)在(-∞，-2)∪(-2，∞)上是单调减函数。
已知：x∈(-1，2)，
在此区间内，f(x)的最小值是：f(2)=(2a+1)/(2+2)=(2a+1)/4
在此区间内，f(x)的最大值是：f(-1)=(-a+1)/(-+2)=1-a
已知，此时f(x)∈(-3/4，3)
由已知，有：1-a=3，解得：a=-2
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