请问对于线性方程组,当变量数远大于方程数时如何求解此线性方程?能用MATLAB中什么函数实现?

请问对于线性方程组,当变量数远大于方程数时如何求解此线性方程?能用MATLAB中什么函数实现?
请问对于线性方程组,当变量数远大于方程数时如何求解此线性方程?能用MATLAB中什么函数实现?

请问对于线性方程组,当变量数远大于方程数时如何求解此线性方程?能用MATLAB中什么函数实现?
拉格朗日
function y=lagrange(x0,y0,x)
n=length(x0);m=length(x);
for i=1:m
z=x(i);
s=0.0;
for k=1:n
p=1.0;
for j=1:n
if =k
p=p*(z-x0(j))/(x0(k)-x0(j));
end
end
s=p*y0(k)+s;
end
y(i)=s;
end
SOR迭代法的Matlab程序
function [x]=SOR_iterative(A,b)
% 用SOR迭代求解线性方程组,矩阵A是方阵
x0=zeros(1,length(b)); % 赋初值
tol=10^(-2); % 给定误差界
N=1000; % 给定最大迭代次数
[n,n]=size(A); % 确定矩阵A的阶
w=1; % 给定松弛因子
k=1;
%
while k=N
x(1)=(b(1)-A(1,2:n)*x0(2:n)')/A(1,1);
for i=2:n
x(i)=(1-w)*x0(i)+w*(b(i)-A(i,1:i-1)*x(1:i-1)'-A(i,i+1:n)*x0(i+1:n)')/A(i,i);
end
if max(abs(x-x0))=tol
fid = fopen('SOR_iter_result.txt','wt');
fprintf(fid,'\n\n\n');
fprintf(fid,'迭代次数:%d次\n\n',k);
fprintf(fid,'超过最大迭代次数,');
fclose(fid);
end
Matlab中龙格-库塔(Runge-Kutta)方法原理及实现龙格-库塔(Runge-Kutta)方法是一种在工程上应用广泛的高精度单步算法.由于此算法精度高,采取措施对误差进行抑制,所以其实现原理也较复杂.该算法是构建在数学支持的基础之上的.龙格库塔方法的理论基础来源于泰勒公式和使用斜率近似表达微分,它在积分区间多预计算出几个点的斜率,然后进行加权平均,用做下一点的依据,从而构造出了精度更高的数值积分计算方法.如果预先求两个点的斜率就是二阶龙格库塔法,如果预先取四个点就是四阶龙格库塔法.一阶常微分方程可以写作：y'=f(x,y),使用差分概念.
(Yn+1-Yn)/h= f(Xn,Yn)推出（近似等于,极限为Yn'）
Yn+1=Yn+h*f(Xn,Yn)
另外根据微分中值定理,存在0t1,使得
Yn+1=Yn+h*f(Xn+th,Y(Xn+th))
这里K＝f(Xn+th,Y(Xn+th))称为平均斜率,龙格库塔方法就是求得K的一种算法.
利用这样的原理,经过复杂的数学推导（过于繁琐省略）,可以得出截断误差为O(h^5)的四阶龙格库塔公式：
K1＝f(Xn,Yn);
K2=f(Xn+h/2,Yn+(h/2)*K1);
K3=f(Xn+h/2,Yn+(h/2)*K2);
K4=f(Xn+h,Yn+h*K3);
Yn+1=Yn+h*(K1+2K2+2K3+K4)*(1/6);
所以,为了更好更准确地把握时间关系,应自己在理解龙格库塔原理的基础上,编写定步长的龙格库塔函数,经过学习其原理,已经完成了一维的龙格库塔函数.
仔细思考之后,发现其实如果是需要解多个微分方程组,可以想象成多个微分方程并行进行求解,时间,步长都是共同的,首先把预定的初始值给每个微分方程的第一步,然后每走一步,对多个微分方程共同求解.想通之后发现,整个过程其实很直观,只是不停的逼近计算罢了.编写的定步长的龙格库塔计算函数：
function [x,y]=runge_kutta1(ufunc,y0,h,a,b)%参数表顺序依次是微分方程组的函数名称,初始值向量,步长,时间起点,时间终点（参数形式参考了ode45函数）
n=floor((b-a)/h);%求步数
x(1)=a;%时间起点
y(:,1)=y0;%赋初值,可以是向量,但是要注意维数
for ii=1:n
x(ii+1)=x(ii)+h;
k1=ufunc(x(ii),y(:,ii));
k2=ufunc(x(ii)+h/2,y(:,ii)+h*k1/2);
k3=ufunc(x(ii)+h/2,y(:,ii)+h*k2/2);
k4=ufunc(x(ii)+h,y(:,ii)+h*k3);
y(:,ii+1)=y(:,ii)+h*(k1+2*k2+2*k3+k4)/6;
%按照龙格库塔方法进行数值求解
end
调用的子函数以及其调用语句：
function dy=test_fun(x,y)
dy = zeros(3,1);%初始化列向量
dy(1) = y(2) * y(3);
dy(2) = -y(1) + y(3);
dy(3) = -0.51 * y(1) * y(2);
对该微分方程组用ode45和自编的龙格库塔函数进行比较,调用如下：
[T,F] = ode45(@test_fun,[0 15],[1 1 3]);
subplot(121)
plot(T,F)%Matlab自带的ode45函数效果
title('ode45函数效果')
[T1,F1]=runge_kutta1(@test_fun,[1 1 3],0.25,0,15);%测试时改变test_fun的函数维数,别忘记改变初始值的维数
subplot(122)
plot(T1,F1)%自编的龙格库塔函数效果
title('自编的 龙格库塔函数')

这种情况是有无穷多解的，用高斯消元法，找变量数-方程数个变量当已知，就可以解了，只不过随着变量变化就有无穷多解了。matlab也就用符号计算吧,然后你给变量赋值就得一组解.不过这个我不太清楚.通常是求下面的情况的.
如果你要问方程数大于未知数的就是无解的时候就用最小二乘求一个可以接受的解，在matlab中可以求A'Ax=A'b,'表示转置....

全部展开

这种情况是有无穷多解的，用高斯消元法，找变量数-方程数个变量当已知，就可以解了，只不过随着变量变化就有无穷多解了。matlab也就用符号计算吧,然后你给变量赋值就得一组解.不过这个我不太清楚.通常是求下面的情况的.
如果你要问方程数大于未知数的就是无解的时候就用最小二乘求一个可以接受的解，在matlab中可以求A'Ax=A'b,'表示转置.

收起