设二次函数f(x)=ax^2+bx(a≠0)满足条件1.f（x-4)=f(2-x)；2.f(x)的图像与直线y=x相切 求f(x)的解析式
来源：学生作业帮助网 编辑：六六作业网 时间：2024/12/23 18:21:44
设二次函数f(x)=ax^2+bx(a≠0)满足条件1.f（x-4)=f(2-x)；2.f(x)的图像与直线y=x相切 求f(x)的解析式
设二次函数f(x)=ax^2+bx(a≠0)满足条件1.f（x-4)=f(2-x)；2.f(x)的图像与直线y=x相切 求f(x)的解析式
设二次函数f(x)=ax^2+bx(a≠0)满足条件1.f（x-4)=f(2-x)；2.f(x)的图像与直线y=x相切 求f(x)的解析式
将x-4与2-x分别带入f,得：a(x-4)^2+b(x-4)=a(2-x)^2+b(2-x)
整理得：-4ax+12a+2bx-6b=0
2[(b-2a)x+(2a-b)]=0
(b-2a)x+(2a-b)=0
2a(1-x)-b(1-x)=0
因为x的定义域为R,所以2a=b.所以f(x)=ax^2+2ax
又因为f(x)的图像与直线y=x相切,所以ax^2+2ax=x,ax^2+2ax-x=0.
所以Δ=（2a-1）^2=0,所以2a-1=0,a=0.5,所以b=1,f(x)=0.5x^2+x.
由（1）得对称轴为x=-1,由3得函数开口向上，所以f(x)=a(x-1)^2，由f(1)>=1再由（2）得f(1)<=1，所以f(1)=1.
所以a=4。所以f(x)=1/4(x+1)^2;
f(x+t)是由f(x)平移来的，题目所求只要在[1,m]中函数图像在y=x的下方。
但是1,m是取大值所以：
1,m即为：1/4(x+t+1)^2=x的两根。
x=...
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由（1）得对称轴为x=-1,由3得函数开口向上，所以f(x)=a(x-1)^2，由f(1)>=1再由（2）得f(1)<=1，所以f(1)=1.
所以a=4。所以f(x)=1/4(x+1)^2;
f(x+t)是由f(x)平移来的，题目所求只要在[1,m]中函数图像在y=x的下方。
但是1,m是取大值所以：
1,m即为：1/4(x+t+1)^2=x的两根。
x=1代入得出t=0,t=-4，t=0（舍）t=-4代入m=9.
所以m=9
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