如图,AB、CD是⊙O的弦,延长BA、DC交于点P,且PA=PC.求证：AB=CD
来源：学生作业帮助网 编辑：六六作业网 时间：2024/11/22 22:58:49
如图,AB、CD是⊙O的弦,延长BA、DC交于点P,且PA=PC.求证：AB=CD
如图,AB、CD是⊙O的弦,延长BA、DC交于点P,且PA=PC.求证：AB=CD 
如图,AB、CD是⊙O的弦,延长BA、DC交于点P,且PA=PC.求证：AB=CD
大概有7、8年没做过证明题了,我用了一个最原始的方法,可以借鉴下：
因为看不清你的图,按照你的题意画的图,随便画了个图,应该看得懂的!
连接AC,BD；连接圆O到A,B,C,D;因为园的半径相等所以△OBD中∠OBD=∠ODB；△ODC中∠OCD=∠ODC；△OCA中∠OCA=∠OAC;△QAB中∠OAB=∠OBA；又因为△PAC中AP=PC,所以∠PAC=∠PCA；又因为∠OCA=∠OAC,所以∠OCD=∠OAB;又因为∠OCD=∠ODC和∠OAB=∠OBA,所以∠CDO=∠ABO,又因为∠OBD=∠ODB,所以∠CDB=∠ABD,所以PD=PB,又因PA=PA,所以AB=CD
楼上用的是切割线定理得推论。我再推荐2种方法。
法1：连AC，BD。则ACDB四点共圆。由已知得：角ACP＝角CAP
由于外角=内对角，所以角ACP＝角B，角CAP＝角D
所以；角B＝角D
即：PB=PD，分别减去PA，PC
得AB=CD
法2:连OP，OA，OC
可得三角形OPA全等三角形OPC（边边边）
所以：OP为角P的平分线，...
全部展开
楼上用的是切割线定理得推论。我再推荐2种方法。
法1：连AC，BD。则ACDB四点共圆。由已知得：角ACP＝角CAP
由于外角=内对角，所以角ACP＝角B，角CAP＝角D
所以；角B＝角D
即：PB=PD，分别减去PA，PC
得AB=CD
法2:连OP，OA，OC
可得三角形OPA全等三角形OPC（边边边）
所以：OP为角P的平分线，再由O向AB、CD作垂线，可知两个弦心距相等，所以两弦也相等。
收起
连接OA,OB，OC，OD，OP
OA=OC，OP=OP，PA=PC
所以三角形PAO全等于PCO
可得角PAO=角PCO
所以角BAO=角DCO
又因为OA=OB=OC=OD
可得三角形ABO全等于三角形CDO
所以AB=CD
证明：过P作PT切圆O于点T
则利用切割线定理可得：
PT^2=PAPB
同理：PT^2=PCPD
所以PAPB=PCPD
因为PA=PC代入上式可得
AB=CD
不用切割线定理就要证明相似三角形，
连结BD,BC,AD ; ∵∠DCB=∠DAB ( 这两个角对应共同的弦是DB,同一个圆里，同一条弦对应的圆周角都相等）, ∴ △PCB≌△PAD ( ∠P=∠P,PC=PA,∠DCB=∠DAB 符合ASA全等定理 ），∴PD=PB, ∴ PC-PD=PA-PB ,就是 CD= AB .
这个不难啊，但是要知道一个定理。
就是任意过一点作一条直线与一个圆相交，这个点到两个交点的距离的乘积都相等。
不知道你有没有记住这个定理。
有这个定理，所以，PA*PD=PB*PC
因为PA=PC,所以PD=PB,所以AB=CD
就这么简单。相信你能懂...
全部展开
这个不难啊，但是要知道一个定理。
就是任意过一点作一条直线与一个圆相交，这个点到两个交点的距离的乘积都相等。
不知道你有没有记住这个定理。
有这个定理，所以，PA*PD=PB*PC
因为PA=PC,所以PD=PB,所以AB=CD
就这么简单。相信你能懂
收起