如图,AB、CD是⊙O的弦,延长BA、DC交于点P,且PA=PC.求证:AB=CD
来源:学生作业帮助网 编辑:六六作业网 时间:2024/11/09 00:30:26
如图,AB、CD是⊙O的弦,延长BA、DC交于点P,且PA=PC.求证:AB=CD
如图,AB、CD是⊙O的弦,延长BA、DC交于点P,且PA=PC.求证:AB=CD
如图,AB、CD是⊙O的弦,延长BA、DC交于点P,且PA=PC.求证:AB=CD
大概有7、8年没做过证明题了,我用了一个最原始的方法,可以借鉴下:
因为看不清你的图,按照你的题意画的图,随便画了个图,应该看得懂的!
连接AC,BD;连接圆O到A,B,C,D;因为园的半径相等所以△OBD中∠OBD=∠ODB;△ODC中∠OCD=∠ODC;△OCA中∠OCA=∠OAC;△QAB中∠OAB=∠OBA;又因为△PAC中AP=PC,所以∠PAC=∠PCA;又因为∠OCA=∠OAC,所以∠OCD=∠OAB;又因为∠OCD=∠ODC和∠OAB=∠OBA,所以∠CDO=∠ABO,又因为∠OBD=∠ODB,所以∠CDB=∠ABD,所以PD=PB,又因PA=PA,所以AB=CD
楼上用的是切割线定理得推论。我再推荐2种方法。
法1:连AC,BD。则ACDB四点共圆。由已知得:角ACP=角CAP
由于外角=内对角,所以角ACP=角B,角CAP=角D
所以;角B=角D
即:PB=PD,分别减去PA,PC
得AB=CD
法2:连OP,OA,OC
可得三角形OPA全等三角形OPC(边边边)
所以:OP为角P的平分线,...
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楼上用的是切割线定理得推论。我再推荐2种方法。
法1:连AC,BD。则ACDB四点共圆。由已知得:角ACP=角CAP
由于外角=内对角,所以角ACP=角B,角CAP=角D
所以;角B=角D
即:PB=PD,分别减去PA,PC
得AB=CD
法2:连OP,OA,OC
可得三角形OPA全等三角形OPC(边边边)
所以:OP为角P的平分线,再由O向AB、CD作垂线,可知两个弦心距相等,所以两弦也相等。
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连接OA,OB,OC,OD,OP
OA=OC,OP=OP,PA=PC
所以三角形PAO全等于PCO
可得角PAO=角PCO
所以角BAO=角DCO
又因为OA=OB=OC=OD
可得三角形ABO全等于三角形CDO
所以AB=CD
证明:过P作PT切圆O于点T
则利用切割线定理可得:
PT^2=PAPB
同理:PT^2=PCPD
所以PAPB=PCPD
因为PA=PC代入上式可得
AB=CD
不用切割线定理就要证明相似三角形,
连结BD,BC,AD ; ∵∠DCB=∠DAB ( 这两个角对应共同的弦是DB,同一个圆里,同一条弦对应的圆周角都相等), ∴ △PCB≌△PAD ( ∠P=∠P,PC=PA,∠DCB=∠DAB 符合ASA全等定理 ),∴PD=PB, ∴ PC-PD=PA-PB ,就是 CD= AB .
这个不难啊,但是要知道一个定理。
就是任意过一点作一条直线与一个圆相交,这个点到两个交点的距离的乘积都相等。
不知道你有没有记住这个定理。
有这个定理,所以,PA*PD=PB*PC
因为PA=PC,所以PD=PB,所以AB=CD
就这么简单。相信你能懂...
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这个不难啊,但是要知道一个定理。
就是任意过一点作一条直线与一个圆相交,这个点到两个交点的距离的乘积都相等。
不知道你有没有记住这个定理。
有这个定理,所以,PA*PD=PB*PC
因为PA=PC,所以PD=PB,所以AB=CD
就这么简单。相信你能懂
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