在三角形ABC中,∠ACB等于90度,AC=2,BC=3,D是BC上一点,直线DE⊥BC于D,交AB于E,CF∥AB交直线DE于F,设CD为X（1）当X为何值时,四边形EACF为菱形?请说明理由（2）当X取何值时,四边形EACD的面积等于2?
来源：学生作业帮助网 编辑：六六作业网 时间：2024/12/23 12:25:42
在三角形ABC中,∠ACB等于90度,AC=2,BC=3,D是BC上一点,直线DE⊥BC于D,交AB于E,CF∥AB交直线DE于F,设CD为X（1）当X为何值时,四边形EACF为菱形?请说明理由（2）当X取何值时,四边形EACD的面积等于2?
在三角形ABC中,∠ACB等于90度,AC=2,BC=3,D是BC上一点,直线DE⊥BC于D,交AB于E,CF∥AB交直线DE于F,设CD为X
（1）当X为何值时,四边形EACF为菱形?请说明理由
（2）当X取何值时,四边形EACD的面积等于2?
在三角形ABC中,∠ACB等于90度,AC=2,BC=3,D是BC上一点,直线DE⊥BC于D,交AB于E,CF∥AB交直线DE于F,设CD为X（1）当X为何值时,四边形EACF为菱形?请说明理由（2）当X取何值时,四边形EACD的面积等于2?
（1）当X = 十三分之六倍的根号十三时,即X=6/13 * √13 时,
解法：要求四边形EACF为菱形,须满足：CF=EF=AC=2,
由已知条件易知：AB=√13 ；
有△ABC相似与△FCD （因为AB∥CF,EF⊥BC,）
对应边等比例,有：BC/CD= AB/FC=√13 /2,（其中FC=2,BC=3 ）
所以有：CD=6/13 * √13 .
(2) 当X=三减根号三时,即X = 3-√3 时,
解法：,因为△ABC的面积 = 1/2 * AC * CB = 3 = △EBD的面积 + 四边形EACD的面积..所以 要求 四边形EACD的面积等于2,即要求△EBD的面积 = 1 .
易知△EDB 相似与 △ACB ,所以有对应边等比例,即：ED/BD = AC/BD = 2/3
△EBD的面积 = 1/2 * ED * BD = 1/2 * (2/3BD) * BD = 1/3 * BD的平方 = 1 .得到：BD = √3 .
所以有：X = CD = 3 - √3 .
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(1)若四边形EACF为菱形,则CF=AE=AC=2, 又CB=3 CD=x, 则DB=3-x
由勾股定理有AB^2=AC^2+CB^2, AB=√13 所以BE=√13 -2
在ΔBED与ΔCFD中, ∠BDE=∠CDF=90度, 又 CF∥AB得∠BED=∠CFD
∴ΔBED∽ΔCFD
则CF/C...
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(1)若四边形EACF为菱形,则CF=AE=AC=2, 又CB=3 CD=x, 则DB=3-x
由勾股定理有AB^2=AC^2+CB^2, AB=√13 所以BE=√13 -2
在ΔBED与ΔCFD中, ∠BDE=∠CDF=90度, 又 CF∥AB得∠BED=∠CFD
∴ΔBED∽ΔCFD
则CF/CD=DB/BE, ∴x/2=(3-x)/(√13 -2), 解得x=6√13 /13
故当x=6√13 /13 时，四边形EACF为菱形
(2)四边形EACD为直角梯形,设ED=y,则DF=2-y
由ΔBED∽ΔCFD 则x/(2-y)=(3-x)/y,解得y=2-2x/3
则直角梯形EACD的面积=(ED+AC)CD/2=x(2-2x/3+2)/2=x(4-2x/3)/2
又已知EACD的面积为2
所以x(4-2x/3)/2=2
化简得x^2-6x+6=0
由求根公式解得x=3±√3, 又x<3
所以x=3-√3
即当x=3-√3时，四边形EACD的面积等于2
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