求高中立体几何例题50道例题,希望有朋友发一些

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求高中立体几何例题
50道例题,希望有朋友发一些

求高中立体几何例题50道例题,希望有朋友发一些
立体几何基础题题库（二）（有详细答案）
51. 已知空间四边形ABCD中,AB=BC=CD=DA=DB=AC,M、N分别为BC、AD的中点.
求：AM与CN所成的角的余弦值；
解析：(1)连接DM,过N作NE‖AM交DM于E,则∠CNE
为AM与CN所成的角.
∵N为AD的中点, NE‖AM省 ∴NE= AM且E为MD的中点.
设正四面体的棱长为1, 则NC= • = 且ME= MD=
在Rt△MEC中,CE2=ME2+CM2= + =
∴cos∠CNE= ,
又∵∠CNE ∈(0, )
∴异面直线AM与CN所成角的余弦值为 .
注：1、本题的平移点是N,按定义作出了异面直线中一条的平行线,然后先在△CEN外计算CE、CN、EN长,再回到△CEN中求角.
2、作出的角可能是异面直线所成的角,也可能是它的邻补角,在直观图中无法判定,只有通过解三角形后,根据这个角的余弦的正、负值来判定这个角是锐角（也就是异面直线所成的角）或钝角（异面直线所成的角的邻补角）.最后作答时,这个角的余弦值必须为正.
52. 如图所示,在空间四边形ABCD中,点E、F分别是BC、AD上的点,已知AB=4,CD=20,EF=7, .求异面直线AB与CD所成的角.
解析：在BD上取一点G,使得 ,连结EG、FG
在ΔBCD中, ,故EG//CD,并且 , 所以,EG=5；
类似地,可证FG//AB,且 ,
故FG=3,
在ΔEFG中,利用余弦定理可得
cos∠FGE= ,
故∠FGE=120°.
另一方面,由前所得EG//CD,FG//AB,所以EG与FG所成的锐角等于AB与CD所成的角,于是AB与CD所成的角等于60°.
53. 在长方体ABCD－A1B1C1D1中,AA1=c,AB=a,AD=b,且a＞b．求AC1与BD所成的角的余弦．
解一：连AC,设AC∩BD=0,则O为AC中点,取C1C的中点F,连OF,则OF‖AC1且OF= AC1,所以∠FOB即为AC1与DB所成的角.
在△FOB中,OB= ,OF= ,BE= ,
由余弦定理得
cos∠OB= =
解二：取AC1中点O1,B1B中点G．在△C1O1G中,∠C1O1G即AC1与DB所成的角.
解三：．延长CD到E,使ED=DC．则ABDE为平行四边形．AE‖BD,所以∠EAC1即为AC1与BD所成的角．连EC1,在△AEC1
中,AE= ,AC1= ,C1E= 由余弦定理,得
cos∠EAC1= = ＜0
所以∠EAC1为钝角．
根据异面直线所成角的定义,AC1与BD所成的角的余弦为
54. 已知AO是平面 的斜线,A是斜足,OB垂直 ,B为垂足,则
直线AB是斜线在平面 内的射影,设AC是 内的任一条直线,
解析：设AO与AB所成角为 ,AB与AC所成角为 ,AO与AC所成角为 ,则有 .在三棱锥S—ABC中,∠SAB=∠SAC=∠ACB= , ,求异面直线SC与AB所成角的大小.（略去了该题的1,2问）
由SA⊥平面ABC知,AC为SC在平面ABC内的射影,
设异面直线SC与AB所成角为 ,
则 ,
由 得
∴ , ,
∴ , 即异面直线SC与AB所成角为 .
55. 已知平行六面体 的底面ABCD是菱形,且 ,证明 .
（略去了该题的2,3问）
解析： 设 在平面ABCD内射影为H,则CH为 在平面ABCD内的射影,
∴ ,
∴ ,
由题意 , ∴ .
又 ∵
∴ , 从而CH为 的平分线,
又四边形ABCD是菱形, ∴
∴ 与BD所成角为 , 即
56.在正四面体ABCD中,E,F分别为BC,AD的中点,求异面直线AE与CF所成角的大小.
解析： 连接BF、EF,易证AD⊥平面BFC, ∴ EF为AE在平面BFC内的射影,
设AE与CF所成角为 ,
∴ ,
设正四面体的棱长为 ,则 ,
显然 EF⊥BC, ∴ ,
∴ , ,
∴ , 即AE∴与CF所成角为 .
57. 三棱柱 ,平面 ⊥平面OAB, ,且 ,求异面直线 与 所成角的大小,（略去了该题的1问）
解析： 在平面 内作 于C ,连 ,
由平面 平面AOB, 知,
AO⊥平面 , ∴ , 又 , ∴ BC⊥平面 ,
∴ 为 在平面 内的射影.
设 与 所成角为 , 与 所成角为 ,
则 ,
由题意易求得 ,
∴ ,
在矩形 中易求得 与 所成角 的余弦值： ,
∴ ,
即 与 所成角为 .
58. 已知异面直线 与 所成的角为 ,P为空间一定点,则过点P且与 , 所成的角均是 的直线有且只有（ ）
A、1条 B、2条 C、3条 D、4条
解析： 过空间一点P作 ‖ , ‖ ,则由异面直线所成角的定义知： 与 的交角为 ,过P与 , 成等角的直线与 , 亦成等角,设 , 确定平面 , , 交角的平分线为 ,则过 且与 垂直的平面（设为 ）内的任一直线 与 , 成等角（证明从略）,由上述结论知： 与 , 所成角大于或等于 与 , 所成角 ,这样在 内 的两侧与 , 成 角的直线各有一条,共两条.在 , 相交的另一个角 内,同样可以作过 角平分线且与 垂直的平面 ,由上述结论知, 内任一直线与 , 所成角大于或等于 ,所以 内没有符合要求的直线,因此过P与 , 成 的直线有且只有2条,故选（B）
59. 垂直于同一条直线的两条直线的位置关系是（ ）
A.平行 B.相交
C.异面 D.以上都有可能
解析：D
60. l1、l2是两条异面直线,直线m1、m2与l1、l2都相交,则m1、m2的位置关系是（ ）
A.异面或平行 B.相交
C.异面 D.相交或异面
解析：D
61. 在正方体ABCD-A’B’C’D’中,与棱AA’异面的直线共有几条（ ）
A.4 B.6
C.8 D.10
解析：A
62.在正方体ABCD-A’B’C’D’中12条棱中能组成异面直线的总对数是（ ）
A.48对 B.24对
C.12对 D.6对
解析：B
棱AA’有4条与之异面,所以,所有棱能组成4×12=48对,但每一对都重复计算一次,共有24对.
63.. 正方体ABCD-A’B’C’D’中,异面直线CD’和BC’所成的角的度数是（ ）
A.45° B.60°
C.90° D.120°
解析：B
∠AD’C=60°即为异面直线CD’和BC’所成的角的度数为60°
64.异面直线a、b,a⊥b,c与a成30°角,则c与b成角的范围是
（ ）
A. B.
C. D.
解A.直线c在位置c2时,它与b成角的最大值为90°,直线c在c1位置时,它与b成角的最小值是60°
65..如图,空间四边形ABCD的各边及对角线长都是1,点M在边AB上运动、点Q在边CD上运动,则P、Q的最短距离为（ ）
A. B. C. D.
解析：B
当M,N分别为中点时.
因为AB, CD为异面直线,所以M, N的最短距离就是异面直线AB,CD的距离为最短.连接BN,AN则CD⊥BN,CD⊥AN且AN=BN,所以NM⊥AB.同理,连接CM,MD可得MN⊥CD.所以MN为AB,CD的公垂线.因为AN=BN＝ ,所以在RT△BMN中,MN＝ .求异面直线的距离通常利用定义来求,它包括两个步骤:先证一条线段同时与两异面直线相交垂直；再利用数量关系求解.在做综合题时往往大家只重视第二步,而忽略第一步.
66. 空间四边形ABCD中,AD=BC=2,E,F分别是AB,CD的中点,EF＝√3,则AD,BC所成的角为（ ）
A.30° B.60°
C.90° D.120°
解B. 注：考察异面直线所成角的概念,范围及求法,需注意的是,异面直线所成的角不能是钝角,而利用平行关系构造可求解的三角形,可能是钝角三角形,望大家注意.同时求角的大小是先证明再求解这一基本过程.
67. 直线a是平面α的斜线,b在平α内,已知a与b成60°的角,且b与a在平α内的射影成45°角时,a与α所成的角是（ ）
A.45° B.60°
C.90° D.135°
解A
在 内的摄影是C,则 于C, 于B,则 平面ABC.
68. m和n是分别在两个互相垂直的面α、β内的两条直线,α与β交于l,m和n与l既不垂直,也不平行,那么m和n的位置关系是
A.可能垂直,但不可能平行
B.可能平行,但不可能垂直
C.可能垂直,也可能平行
D.既不可能垂直,也不可能平行
解析：这种结构的题目,常常这样处理,先假设某位置关系成立,在此基础上进行推理,若无矛盾,且推理过程可逆,就肯定这个假设；若有矛盾,就否定这个假设.
设m//n,由于m在β外,n在β内,
∴m//β
而α过m与β交于l
∴m//l,这与已知矛盾,
∴m不平行n.
设m⊥n,在β内作直线α⊥l,
∵α⊥β,
∴a⊥α,
∴m⊥a.
又由于n和a共面且相交（若a//n 则n⊥l,与已知矛盾）
∴m⊥β,
∴m⊥l与已知矛盾,
∴m和n不能垂直.
综上所述,应选（D）.
69. 如图,ABCD-A1B1C1D1是正方体,E、F分别是AD、DD1的中点,则面EFC1B和面BCC1所成二面角的正切值等于
解析：为了作出二面角E-BC1-C的平面角,需在一个面内取一点,过该点向另一个面引垂线（这是用三垂线定理作二面角的平面角的关键步骤）.
从图形特点看,应当过E（或F）作面BCC1的垂线.
解析：过E作EH⊥BC,垂足为H. 过H作HG⊥BC1,垂足为G.连EG.
∵面ABCD⊥面BCC1,而EH⊥BC
∵EH⊥面BEC1,
EG是面BCC1的斜线,HG是斜线EG在面BCC1内的射影.
∵HG⊥BC1,
∴EG⊥BC1,
∴∠EGH是二面角E-BC1-C的平面角.
在Rt△BCC1中：sin∠C1BC=
在Rt△BHG中：sin∠C1BC=
∴HG= （设底面边长为1）.
而EH=1,
在Rt△EHG中：tg∠EGH=
∴∠EGH=arctg
故二面角E-BC1-C 等于arctg .
70. 将边长为1的正方形ABCD,沿对角线AC折起,使BD= .则三棱锥D-ABC的体积为
解析：设AC、BD交于O点,则BO⊥AC
且DO⊥AC,在折起后,这个垂直关系不变,因此∠BOD是二面角B-AC-D的平面角.
由于△DOB中三边长已知,所以可求出∠BOD：
这是问题的一方面,另一方面为了求体积,应求出高,这个高实际上是△DOB中,OB边上的高DE,理由是：
∵DE⊥OB
∴DE⊥面ABC.
由cos∠DOB= ,知sin∠DOE=
∴DE=
∴
应选（B）
71. 球面上有三个点A、B、C. A和B,A和C间的球面距离等于大圆周长的 . B和C间的球面距离等于大圆周长的 .如果球的半径是R,那么球心到截面ABC的距离等于
解析：本题考查球面距离的概念及空间想像能力.
如图所示,圆O是球的大圆,且大圆所在平面与面ABC垂直,其中弦EF是过A、B、C的小圆的直径,弦心距OD就是球心O到截面ABC的距离,OE是球的半径,因此,欲求OD,需先求出截面圆ABC的半径.
下一个图是过A、B、C的小圆.AB、AC、CB是每两点之间的直线段.它们的长度要分别在△AOB、△AOC、△COB中求得（O是球心）.由于A、B间球面距离是大圆周长的 ,所以∠AOB= ×2π= ,同理∠AOC= ,∠BOC= .
∴|AB|=R, |AC|=R, |BC|= .
在△ABC中,由于AB2+AC2=BC2.
∴∠BAC=90°,BC是小圆ABC的直径.
∴|ED|=
从而|OD|= .
故应选B.
72. 如图,四棱锥P-ABCD中,ABCD是正方形,PA⊥底面ABCD,该图中,互相垂直的面有
A.4对 B.5对 C.6对 D.7对
答案（D）
解析：要找到一个好的工作方法,使得计数时不至于产生遗漏
73. ABCD是各条棱长都相等的三棱锥.M是△ABC的垂心,那么AB和DM所成的角等于______
解析：90°连CM交AB于N,连DN,易知N是AB中点,AB⊥CN,AB⊥DN.
74. 已知PA⊥矩形ABCD所在平面,M、N分别是AB、PC的中点.
（1）求证：MN⊥CD；
（2）若∠PDA=45°,求证MN⊥面PCD.(12分)
解析：
75. 设P、Q是单位正方体AC1的面AA1D1D、面A1B1C1D1的中心.
如图：（1）证明：PQ‖平面AA1B1B；
（2）求线段PQ的长.（12分）
评注：本题提供了两种解法,方法一,通过平行四边形的对边平行得到“线线平行”,从而证得“线面平行”；方法二,通过三角形的中位线与底边平行得到“线线平行”,从而证得“线面平行”.本题证法较多.
76. 如图,已知 求证a‖l
解析：
77．如图,ABCD为正方形,过A作线段SA⊥面ABCD,又过A作与SC垂直的平面交SB、SC、SD于E、K、H,求证：E、H分别是点A在直线SB和SD上的射影.（12分）
解析：
78. 在正方体ABCD—A1B1C1D1,G为CC1的中点,O为底面ABCD的中心.
求证：A1O⊥平面GBD（14分）
解析：
79. 如图,已知a、b是两条相互垂直的异面直线,其公垂线段AB的长为定值m,定长为n（n>m）的线段PQ的两个端点分别在a、b上移动,M、N分别是AB、PQ的中点.
（1）求证：AB⊥MN；
（2）求证：MN的长是定值（14分）
解析：
80. 已知：平面 与平面 相交于直线a,直线b与 、 都平行,求证：b‖a．
证明：在a上取点P,b和P确定平面 设 与 交于 , 与 交于
∵ b‖ 且b‖
∴ b‖ 且b‖
∴ 与 重合,而 , ,实际上是 、 、a三线重合,
∴ a‖b．
81. 有三个几何事实(a,b表示直线, 表示平面),① a‖b,② a‖ ,③ b‖ ．其中,a,b在面 外．
用其中两个事实作为条件,另一个事实作为结论,可以构造几个命题?请用文字语言叙述这些命题,并判断真伪．正确的给出证明,错误的举出反例．
解析：Ⅰ： a‖b
a‖ b‖
b在 外
Ⅱ：a‖b
b‖ a‖
a在 外
Ⅰ、Ⅱ是同一个命题：两条平行直线都在一个平面外,若其中一条与平面平行,则另一条也与该平面平行．
证明：过a作平面 与 交于
∵ a‖
∵ a‖
而a‖b
∴ b‖ 且b在 外, 在 内
∴ b‖ ．
Ⅲ：a‖
a‖b
b‖
命题：平行于同一个平面的两条直线平行,
这是错的,如右图
82. 两个平面同时垂直于一条直线,则两个平面平行．
已知：、是两个平面,直线l⊥,l⊥,垂足分别为A、B．
求证：‖思路1：根据判定定理证．
证法1：过l作平面,
∩＝AC,∩＝BD,
过l作平面,
∩＝AE,∩＝BF,
l⊥ l⊥AC
l⊥ l⊥BD AC‖BD AC‖,
l、AC、BD共面
同理AE‖,AC∩AE≠,AC,AE ,故‖．
思路2：根据面面平行的定义,用反证法．
证法2：设、有公共点P
则l与P确定平面,
且∩＝AP,∩＝BP．
l⊥ l⊥AP
l⊥ l⊥BP
l、AP、BP共面,于是在同一平面内过一点有两条直线AP、BP都与l垂直,这是不可能的．
故、不能有公共点,∴ ‖．
83. 已知：a、b是异面直线,a 平面,b 平面,a‖,b‖．
求证：‖．
证法1：在a上任取点P,
显然P∈b．
于是b和点P确定平面．
且与有公共点P
∴ ∩＝b′
且b′和a交于P,
∵ b‖,
∴ b‖b′
∴ b′‖
而a‖
这样内相交直线a和b′都平行于
∴ ‖．
证法2：设AB是a、b的公垂线段,
过AB和b作平面,
∩ ＝b′,
过AB和a作平面,
∩＝a′．
a‖ a‖a′
b‖ b‖b′
∴AB⊥a AB⊥a′,AB⊥b AB⊥b′
于是AB⊥且AB⊥,∴ ‖．
84. 已知a、b、c是三条不重合的直线,α、β、r是三个不重合的平面,下面六个命题：
①a‖c,b‖c a‖b；
②a‖r,b‖r a‖b；
③α‖c,β‖c α‖β；
④α‖r,β‖r α‖β；
⑤a‖c,α‖c a‖α；
⑥a‖r,α‖r a‖α．
其中正确的命题是 ( )
(A) ①④ (B) ①④⑤
(C) ①②③ (D) ①⑤⑥
解析：由公理4“平行于同一条直线的两条直线互相平行”可知命题①正确；若两条不重合的直线同平行于一个平面,它们可能平行,也可能异面还可能相交,因此命题②错误；平行于同一条直线的两个不重合的平面可能平行,也可能相交,命题③错误；平行于同一平面的两个不重合的平面一定平行,命题④正确；若一条直线和一个平面分别平行于同一条直线或同一个平面,那么这条直线与这个平面或平行,或直线在该平面内,因此命题⑤、⑥都是错的,答案选A．
85. 已知直三棱柱ABC－A1B1C1中,AC=BC,M、N分别是A1B1,AB的中点,P点在线段B1C上,则NP与平面AMC1的位置关系是 ( )
(A) 垂直
(B) 平行
(C) 相交但不垂直
(D) 要依P点的位置而定
解析：由题设知B1M‖AN且B1M=AN,
四边形ANB1M是平行四边形,
故B1N‖AM,B1N‖AMC1平面．
又C1M‖CN,得CN‖平面AMC1,则平面B1NC‖AMC1,NP 平面B1NC,
∴ NP‖平面AMC1．
答案选B．
86. 已知：正方体ABCD－A1B1C1D1棱长为a．
(1) 求证：平面A1BD‖平面B1D1C；
(2) 求平面A1BD和平面B1D1C的距离．
证明：(1) 在正方体ABCD－A1B1C1D1中,
∵ BB1平行且等于DD1,
∴ 四边形BB1D1D是平行四边形,
∴ BD‖B1D1,
∴ BD‖平面B1D1C．
同理 A1B‖平面B1D1C,
又A1B∩BD=B,
∴ 平面A1BD‖平面B1D1C
(2) 连AC1交平面A1BD于M,交平面B1D1C于N．
AC是AC1在平面AC上的射影,又AC⊥BD,
∴ AC1⊥BD,
同理可证,AC1⊥A1B,
∴ AC1⊥平面A1BD,即MN⊥平面A1BD,
同理可证MN⊥平面B1D1C．
∴ MN的长是平面A1BD到平面B1D1C的距离,
设AC、BD交于E,则平面A1BD与平面A1C交于直线A1E．
∵ M∈平面A1BD,M∈AC1 平面A1C,
∴ M∈A1E．
同理N∈CF．
在矩形AA1C1C中,见图9－21(2),由平面几何知识得
,
∴ ．
评述：当空间图形较为复杂时,可以分解图形,把其中的平面图形折出分析,利于清楚地观察出平面上各种线面的位置关系．证明面面平行,主要是在其中一个平面内找出两条与另一个平面平行的相交直线,或者使用反证法．
87. 已知正三棱柱ABC－A1B1C1,底面边长为8,对角线B1C=10,D为AC的中点．
(1) 求证AB1‖平面C1BD；
(2) 求直线AB1到平面C1BD的距离．
证明：(1) 设B1C∩BC1=O．
连DO,则O是B1C的中点．
在△ACB1中,D是AC中点,O是B1C中点．
∴ DO‖AB1,
又DO 平面C1BD,AB1 平面C1BD,
∴ AB1‖平面C1BD．
(2) 由于三棱柱ABC－A1B1C1是正三棱柱,D是AC中点,
∴ BD⊥AC,且BD⊥CC1,
∴ BD⊥平面AC1,
平面C1BD⊥平面AC1,C1D是交线．
在平面AC1内作AH⊥C1D,垂足是H,
∴ AH⊥平面C1BD,
又AB1‖平面C1BD,故AH的长是直线AB1到平面C1BD的距离．
由BC=8,B1C=10,得CC1=6,
在Rt△C1DC中,DC=4,CC1=6,
在Rt△DAH中,∠ADH=∠C1DC
∴ ．
即AB1到平面C1BD的距离是 ．
评述：证明线面平行的关键是在平面内找出与已知直线平行的直线,如本题的DO．本题的第(2)问,实质上进行了“平移变换”,利用AB1‖平面C1BD,把求直线到平面的距离变换为求点A到平面的距离．
88. 已知：直线a‖平面 ．求证：经过a和平面 平行的平面有且仅有一个．
证：过a作平面与 交于 ,在 内作直线 与 相交,在a上任取一点P,在 和P确定的平面内,过P作b‖ ．b在 外, 在 内,
∴ b‖
而a‖
∴ a,b确定的平面 过a且平行于 ．
∵ 过a,b的平面只有一个,
∴ 过a平行于平面 的平面也只有一个
89. 已知平面 、 、 、 ．其中 ∩ =l, ∩ =a, ∩ = ,a‖ , ∩ =b, ∩ = ,b‖
上述条件能否保证有 ‖ ?若能,给出证明,若不能给出一个反例,并添加适当的条件,保证有 ‖ ．
不足以保证 ‖ ．
如右图．
如果添加条件a与b是相交直线,那么 ‖ ．
证明如下：
a‖ a‖
b‖ b‖
∵ a,b是 内两条相交直线,
∴ ‖ ．
90. 三个平面两两相交得三条直线,求证：这三条直线相交于同一点或两两平行.
已知：平面α∩平面β＝a,平面β∩平面γ＝b,平面γ∩平面α＝c.
求证：a、b、c相交于同一点,或a‖b‖c.
证明：∵α∩β＝a,β∩γ＝b
∴a、b β
∴a、b相交或a‖b.
(1)a、b相交时,不妨设a∩b＝P,即P∈a,P∈b
而a、b β,a α
∴P∈β,P∈α,故P为α和β的公共点
又∵α∩γ＝c
由公理2知P∈c
∴a、b、c都经过点P,即a、b、c三线共点.
(2)当a‖b时
∵α∩γ＝c且a α,a γ
∴a‖c且a‖b
∴a‖b‖c
故a、b、c两两平行.
由此可知a、b、c相交于一点或两两平行.
说明：此结论常常作为定理使用,在判断问题中经常被使用.
91. 如图,正方体ABCD—A1B1C1D1中,E在AB1上,F在BD上,且B1E＝BF.
求证：EF‖平面BB1C1C.
证法一：连AF延长交BC于M,连结B1M.
∵AD‖BC
∴△AFD∽△MFB
∴
又∵BD＝B1A,B1E＝BF
∴DF＝AE
∴
∴EF‖B1M,B1M 平面BB1C1C
∴EF‖平面BB1C1C.
证法二：作FH‖AD交AB于H,连结HE
∵AD‖BC
∴FH‖BC,BC BB1C1C
∴FH‖平面BB1C1C
由FH‖AD可得
又BF＝B1E,BD＝AB1
∴
∴EH‖B1B,B1B 平面BB1C1C
∴EH‖平面BB1C1C,
EH∩FH＝H
∴平面FHE‖平面BB1C1C
EF 平面FHE
∴EF‖平面BB1C1C
说明：证法一用了证线面平行,先证线线平行.证法二则是证线面平行,先证面面平行,然后说明直线在其中一个平面内.
92. 已知：平面α‖平面β,线段AB分别交α、β于点M、N；线段AD分别交α、β于点C、D；线段BF分别交α、β于点F、E,且AM=m,BN=n,MN=p,△FMC面积=(m+p)(n+p),求：END的面积.
解析：如图,面AND分别交α、β于MC,ND,因为α‖β,
故MC‖ND,同理MF‖NE,得
∠FMC＝∠END,
∴ND∶MC＝（m+p)：m和EN∶FM＝n∶(n+p)
S△END∶S△FMC＝
得S△END＝ ×S△FMC
＝ •(m+p)(n+p)= (m+p)2
∴△END的面积为 (m+p)2平方单位.
93. 如图,在正方体ABCD—A1B1C1D1中,点N在BD上,点M在B1C上,并且CM=DN.
求证:MN‖平面AA1B1B.
解析：本题是把证“线面平行”转化为证“线线平行”,即在平面ABB1A1内找一条直线与MN平行,除上面的证法外,还可以连CN并延长交直线BA于点P,连B1P,就是所找直线,然后再设法证明MN‖B1P.
分析二：要证“线面平行”也可转化为证“面面平行”,因此,本题也可设法过MN作一个平面,使此平面与平面ABB1A1平行,从而证得MN‖平面ABB1A1.
94. 已知E,F分别是正方形ABCD边AD,AB的中点,EF交AC于M,GC垂直于ABCD所在平面．
（1）求证：EF⊥平面GMC．
（2）若AB＝4,GC＝2,求点B到平面EFG的距离．
解析：第1小题,证明直线与平面垂直,常用的方法是判定定理；第2小题,如果用定义来求点到平面的距离,因为体现距离的垂线段无法直观地画出,因此,常常将这样的问题转化为直线到平面的距离问题．

（1）连结BD交AC于O,
∵E,F是正方形ABCD边AD,AB的中点,AC⊥BD,
∴EF⊥AC．
∵AC∩GC＝C,
∴EF⊥平面GMC．
（2）可证BD‖平面EFG,由例题2,正方形中心O到平面EFG
95. 已知：ABCD是矩形,SA⊥平面ABCD,E是SC上一点．
求证：BE不可能垂直于平面SCD．
解析：用到反证法,假设BE⊥平面SCD,
∵ AB‖CD；∴AB⊥BE．
∴ AB⊥SB,这与Rt△SAB中∠SBA为锐角矛盾．
∴ BE不可能垂直于平面SCD．
96. 已知PA,PB,PC与平面α所成的角分别为60°,45°,30°,PO⊥平面α,O为垂足,又斜足A,B,C三点在同一直线上,且AB＝BC＝10cm,求PO的长．
解析：
97. 已知：如图,AS⊥平面SBC,SO⊥平面ABC于O,
求证：AO⊥BC．
解析：连结AO,证明BC⊥平面ASO．
98. 已知ABCD是矩形,SA⊥平面ABCD,M、N分别是SC、AB的中点．
求证：MN⊥AB．
解析：连结MB、MA,证明MB＝MA．
99. 已知：如图,平面∩平面＝直线l,A∈ ,AB⊥,B∈,BC⊥,C∈,求证：AC⊥l．
证明：∵ AB⊥,l 
∴ l⊥AB
∵ BC⊥,l 
∴ l⊥BC
∵ AB∩BC＝B
∴ l⊥平面ABC
∵ AC 平面ABC
∴ l⊥AC
100. 已知：如图,P是∠BAC所在平面外一点,PD⊥AB,D为垂足,PE⊥AC,E为垂足,在平面BAC内过D作DF⊥AB,过E作EF⊥AC,使得EF∩DF＝F．连结PF,求证：PF⊥平面BAC．
证明：∵PD⊥AB,DF⊥AB,PD DF＝D
∴AB⊥平面PDF
∵PF 平面PDF
∴ AB⊥PF
同理,AC⊥PF
∵ PF⊥AB,PF⊥AC,BA AC＝A
∴ PF⊥平面BAC