在RT三角形ABC中,已知AB=AC,角A等于90度,D为AB上任意一点,DF垂直于AB,DE垂直于AC,M为BC的中点.试判断三角形MEF是什么形状的三角形,并证明你的结论

在RT三角形ABC中,已知AB=AC,角A等于90度,D为AB上任意一点,DF垂直于AB,DE垂直于AC,M为BC的中点.试判断三角形MEF是什么形状的三角形,并证明你的结论
在RT三角形ABC中,已知AB=AC,角A等于90度,D为AB上任意一点,DF垂直于AB,DE垂直于AC,M为BC的中点.
试判断三角形MEF是什么形状的三角形,并证明你的结论

在RT三角形ABC中,已知AB=AC,角A等于90度,D为AB上任意一点,DF垂直于AB,DE垂直于AC,M为BC的中点.试判断三角形MEF是什么形状的三角形,并证明你的结论
题中D应为BC上任意一点
MEF为等腰直角三角形
证明:连接AM
∵A=90°,M为BC中点
∴AM=MC
又∵AB=AC,DF⊥AB,DE⊥AC
∴FA=EC,∠BAM=∠BCA=45°,AM⊥BC
∴△AMF≌△CME
∴FM=EM,∠FMA=∠CME
∴∠FME=∠CME+∠AME=∠AMC=90°
∴△MEF为等腰直角三角形
图在这里：http://hi.baidu.com/%D2%D7%CB%AE%D0%A1%D9%E2/album/item/c4adbc1a0ef41bd58c6f53bf51da81cb38db3df5.html

△MEF必是等腰直角三角形。
证明：不失一般性令D在CM之间。
因为DE⊥AC，DF⊥AB，又∠A=90°，所以AE=AB-AF=BF
又在等腰Rt△ABC中M为BC中点，所以AM=BM，加上∠EAM=∠FBM=45°
故△EAM≌△FBM，得：EM=FM，∠EMA=∠FMB。∠EMA=∠FMB。
同理，由CE=AF，∠C=∠FAM=45°,...

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△MEF必是等腰直角三角形。
证明：不失一般性令D在CM之间。
因为DE⊥AC，DF⊥AB，又∠A=90°，所以AE=AB-AF=BF
又在等腰Rt△ABC中M为BC中点，所以AM=BM，加上∠EAM=∠FBM=45°
故△EAM≌△FBM，得：EM=FM，∠EMA=∠FMB。∠EMA=∠FMB。
同理，由CE=AF，∠C=∠FAM=45°,CM=AM有△ECM≌△FAM，得：∠EMC=∠FMA。
所以，∠EMF=∠FMA+∠EMA=∠EMC+∠FMB。
又∠EMF+∠EMC+∠FMB=180°，所以，∠EMF=90°。
综合上述：△MEF必然是等腰直角三角形！！

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