已知a,b,c∈R+且a²+b²=c²当n∈N,n>2时,比较c^n与a^n+b^n的大小

已知a,b,c∈R+且a²+b²=c²当n∈N,n>2时,比较c^n与a^n+b^n的大小
已知a,b,c∈R+且a²+b²=c²当n∈N,n>2时,比较c^n与a^n+b^n的大小

已知a,b,c∈R+且a²+b²=c²当n∈N,n>2时,比较c^n与a^n+b^n的大小
a、b、c是正数,且a²＋b²=c²,则a≤c且b≤c,即：a/c≤1且b/c≤1.当n>2时,(a/c)^n=(a/c)^(n－2)×(a/c)²≤(a/c)²【因为(a/c)^(n－1)≤1】,同理(b/c)^n≤(b/c)².两式相加得：(a/c)^n＋(b/c)^n≤(a/c)²＋(b/c)²=1,从而得证.