如图,AD是△ABC的中线,点E在AC上,BE、AD相交于点F.数学兴趣小组同学在研究这一图形时得到如下结论：1、当AF/AD=1/2时,AE/AC=1/3；2、AF/AD=1/3时,AE/AC=1/5；当AF/AD=1/4时,AE/AC=1/7.请依据上面的结论,猜想

如图,AD是△ABC的中线,点E在AC上,BE、AD相交于点F.数学兴趣小组同学在研究这一图形时得到如下结论：1、当AF/AD=1/2时,AE/AC=1/3；2、AF/AD=1/3时,AE/AC=1/5；当AF/AD=1/4时,AE/AC=1/7.请依据上面的结论,猜想
如图,AD是△ABC的中线,点E在AC上,BE、AD相交于点F.数学兴趣小组同学在研究这一图形时得到如下结论：1、当AF/AD=1/2时,AE/AC=1/3；2、AF/AD=1/3时,AE/AC=1/5；当AF/AD=1/4时,AE/AC=1/7.请依据上面的结论,猜想：当AF/AD=1/n+1时,AE/AC的一般结论,并说明理由

如图,AD是△ABC的中线,点E在AC上,BE、AD相交于点F.数学兴趣小组同学在研究这一图形时得到如下结论：1、当AF/AD=1/2时,AE/AC=1/3；2、AF/AD=1/3时,AE/AC=1/5；当AF/AD=1/4时,AE/AC=1/7.请依据上面的结论,猜想
根据一般的推论应该为1/(2n+1)
当AF/AD=1/2时,AE/AC=1/(2*2-1)；
当 AF/AD=1/3时,AE/AC=1/(2*3-1)；
当AF/AD=1/4时,AE/AC=1/(2*4-1);
……
所以
当AF/AD=1/（n+1）时,
AE/AC=1/[2（n+1）-1]=1/(2n+1)

梅涅劳斯定理（竞赛书一般有介绍和证明）有：(AE/EC)*(CB/DB)*(DF/AF)=1,CB/DB=2;所以
(AE/EC)*（DF/AF)=1/2；当AF/AD=1/n+1时，DF/AF=n,所以AE/EC=1/2n，AE/AC=1/(2n+1);

1/n+3

由于我等级不够，没法上传图片，只得口述。设定AF长度为单位1，DF长度为m；再设AE长度为单位1，CE长度为x（此两个单位1不代表它们长度相同，而只是代表分别为各边的单位长度）。连接DE,由几何图形很容易知道，三角形BED与三角形CDE面积相同。而将三角形BDE看做三角形BDF与三角形DEF之和，而BDF的BD边是BC边得一半，DF长度为AD长度的m/(1+m)（而DF与AD的比值就为此方向三角形...

全部展开

由于我等级不够，没法上传图片，只得口述。设定AF长度为单位1，DF长度为m；再设AE长度为单位1，CE长度为x（此两个单位1不代表它们长度相同，而只是代表分别为各边的单位长度）。连接DE,由几何图形很容易知道，三角形BED与三角形CDE面积相同。而将三角形BDE看做三角形BDF与三角形DEF之和，而BDF的BD边是BC边得一半，DF长度为AD长度的m/(1+m)（而DF与AD的比值就为此方向三角形的高之比）所以BDF面积为整个面积的m/(2*(1+m))，同理，DEF中，底边DF为AD的m/(m+1)，高方向（用AE与AC比值等价）为ACD的1/(1+x)，所以DEF面积为ABC面积的m/(m+1)/(x+1),再将BDF与DEF作和，再同理，CDE面积为ABC的x/(x+1)/2。最终，得到方程，1/2*m/(m+1)+m/(m+1)*1/2*1/(1+x)=1/2*x/(1+x),解得，x=2m。再变换一下（就是谁比谁的问题，不细讲），就能得到1/(2*n+1)的结论。

收起

AE/AC=1/(2n+1)
3,5,7数列是等差数列，相差2。

作BG∥AC交AD延长线于G
∵BD=CD
∴可证得：△ADC≌GDB
∴AC=BG
易证△AFE∽△GFB
∵AF/AD=1/n+1
∴AF/FG=1/2n+1
∴AE/BG=1/2n+1
∵BG=AC
∴AE/AC=1/2n+1

选6楼，不是自己人。其他答案都是推论或者公式。这种题应该用几何方法做。

猜想结果：当AF/AD=1/(n+1)时，AE/AC=1/(2n+1).
证明:作DM∥CA,交BE于M.则DM/CE=BD/BC=1/2,CE=2DM;
AF/AD=1/(n+1),AF/(AD-AF)=1/(n+1-1),AF/FD=1/n=AE/DM,AE=DM/n.
∴AE/EC=(DM/n)/(2DM)=1/(2n).
故:AE/(AE+EC)=1/(2n+1)
即:AE/AC=1/(2n+1).

当 AF/AD=1/n+1时，（n是正整数）AE/AC=1/ =2n+1．
过D点作DF∥BE交AC于点F，利用中位线定理即可得证．