有一个六位数,当它分别乘以2,3,4,5,6,得到的结果,依然是一个六位数,所有的数字相同只是位置不同,答案是142857,为甚麽?请证明还有没有合适这个条件的数.
来源：学生作业帮助网 编辑：六六作业网 时间：2024/12/23 21:27:20
有一个六位数,当它分别乘以2,3,4,5,6,得到的结果,依然是一个六位数,所有的数字相同只是位置不同,答案是142857,为甚麽?请证明还有没有合适这个条件的数.
有一个六位数,当它分别乘以2,3,4,5,6,得到的结果,依然是一个六位数,所有的数字相同
只是位置不同,答案是142857,为甚麽?
请证明还有没有合适这个条件的数.
有一个六位数,当它分别乘以2,3,4,5,6,得到的结果,依然是一个六位数,所有的数字相同只是位置不同,答案是142857,为甚麽?请证明还有没有合适这个条件的数.
这个问题体现了数字里无穷的知识.
“7”就是其中之一.
1/7=0.142857 142857 142857 ...
2/7=0.285714 285714 285714 ...
3/7=0.428571 428571 428571 ...
4/7=0.571428 571428 571428 ...
5/7=0.714285 714285 714285 ...
6/7=0.857142 857142 857142 ...
就是这么神奇,6个分数都是由同样的“6”个数字构成,仅差在数字的位置上.
而位置又不是无规律的变化.
仔细观察后会发现,“6”个数字的位置只是前后的移动,丝毫不乱.
这6个分数的倍数关系决定了 “6”个循环节之间的倍数关系.
所以：142857:285714:428571:571428:714285:857142 =1:2:3:4:5:6
当然,我们也可以通过计算,得出结果.
假设有一个“6”位数,如果将它的最高位数移到个位,得到的新数就是原数的N倍.并且 2≤N≤6 .
首先,令原数的最高位数等于 A ；其余5位等于 B ,倍数等于 N ,且:2≤N≤6 .
那么,原数可表示为100000A＋B ；
移位后的新数就可以表达为 10B＋A
建立等式关系：10B＋A=N×(100000A＋B)
通过讨论,N =2、4、5、6 均不可.
N 当且仅当等于 3 等式可变为：10B＋A=3×(100000A＋B)
7B=2999999A
B=42857A
再通过讨论,A 只能 取1 ,B得 42857
得出原数为：142857 将 142857 分别移动 1 位 、 2 位、3 位 、4 位 、5 位 后,得到的新数不难发现它们与原数之间的倍数关系.
142587
首先假设所求六位数表示为abcdef
根据题意可知a,b,c,c,d,e,f是互不相等的6个数字，且都不为0，其中最高位a=1。
由abcdef*5的结果末位不为0得a,b,c,c,d,e中有一个为5，并且f是基数。但f不为5（因为abcde5乘以2，4，6结果末位都是0）。
那么f=3或7或9。在分别乘以 1 ，2 ，3 ，...
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142587
首先假设所求六位数表示为abcdef
根据题意可知a,b,c,c,d,e,f是互不相等的6个数字，且都不为0，其中最高位a=1。
由abcdef*5的结果末位不为0得a,b,c,c,d,e中有一个为5，并且f是基数。但f不为5（因为abcde5乘以2，4，6结果末位都是0）。
那么f=3或7或9。在分别乘以 1 ，2 ，3 ，4 ，5 ，6 看看末位数字：
3* 3 ，6 ，9 ，2 ，5 ，8 （6个不同数字，这还没算1）
7* 7 ，4 ，1 ，8 ，5 ，2 （包括1有6个不同数字）
9* 9 ，8 ，7 ，6 ，5 ，4 （6个不同数字，这还没算1）
所以 f=7。且这6个数字为 1，2，4，5，7，8
因为1bcde7乘以2是2****4，而乘以3是4****1，所以 b=4。即14cde7。
那么14cde7乘以2是28cde4，所以 c=2。即142de7。
那么只有两中情况： 142587（舍弃）；因为142587*3=427761
或 142857（正确）。只有这一个正解
不信你算算看。。
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