奥赛组合几何题尤其是为什么“圆心不能选在某两点的连线上”?
来源：学生作业帮助网 编辑：六六作业网 时间：2024/11/16 22:21:09
奥赛组合几何题尤其是为什么“圆心不能选在某两点的连线上”?
奥赛组合几何题
尤其是为什么“圆心不能选在某两点的连线上”?
奥赛组合几何题尤其是为什么“圆心不能选在某两点的连线上”?
这道题的题目和证明大致是成立的,但是有一些明显的逻辑缺陷,证明不很严谨.
我对这道题的一些评价：
（1）题目没写清楚.题目里应该严格注明：乌龟爬行的方向是两两“不同”的,否则命题不成立.比如拣4个乌龟,爬行方向完全相同,则他们相互之间静止,很容易做出一个乌龟含在另三个乌龟构成三角形内的情况,则永远不是凸多边形.只要有两个乌龟方向相同,我就可以构造出相对静止的情况,找到反例.
（2）证明里有明显的瑕疵.最为重大的逻辑缺陷是,T1T2T3角未必是OT2T1和OT2T3的和,也可能是差!写证明的人,仿佛已经假定了,这个O点会一直在凸多边形的内部!而这实际上不成立!考虑一个情况,4只乌龟,从原点开始,分别是1点钟方向,2点钟方向,3点钟方向,4点钟方向前进,则我可以断言,你在平面上找不到任何一个定点,使这个点在一定时间开始后,就一直在这个四边形的内部!所以说,找O点是可以的,但不能假定O就在内部,有时候角度OT2T1和OT2T3是要相减的!当然,角度即便相减,更不会超过180度,所以完全不影响结论.但是写证明的老师,明显没有考虑到这个情况.我觉得,这个证明显得不够严谨,按理说是要被扣分的（虽然扣的不多）.
（3）“圆心不能选在某两点的连线上”.我的意见是：没有什么太大必要.“圆心不能选在某两点的连线上”,唯一的作用,可能就是保证OT(i)T(j)不会一直共线而不组成三角形（比如两只乌龟,都从原点O出发,一只3点钟方向,另一只9点钟方向）,但其实这点对证明来说,根本不算关键.
最正确的做法是：根据v的方向矢量,把乌龟进行顺时针排序T1T2T3.TN,O点随便取,然后套用证明里的结论,时间足够长之后,OT(i)T(i+1)基本都是等腰三角形,然后T1T2T3是OT1T2和OT2T3角度的和或者差,无论哪种情况,都不超过180度,所以ok.O是否包在这个凸多边形内,取决于相邻两个方向矢量角度的差,尤其是差是否会超过180度,如果能超过180度,则O实际上在该凸多边形的外部.
这道题,有明显的高等数学背景（尤其是极限的概念）,如果你只有初等数学背景,也希望你能理解证明的想法.对于学过极限的人,理解这道题的证明,应该是很容易的.
①要明确:证明多边形是凸多边行,只要证明相邻3个点形成的角都小于180º就可以了.
②若能建立起框架:
两个点(T1,T2),跟圆心O形成的三角形ΔOT1T2里讨论:∠OT1T2<90º,
不难得出①了-----每相邻3点所构成的角小于180º,那么这个图形为凸n多边形.
③"圆心不能选在某两点的连线上",是为了搭建起的圆的框架的完成性...
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①要明确:证明多边形是凸多边行,只要证明相邻3个点形成的角都小于180º就可以了.
②若能建立起框架:
两个点(T1,T2),跟圆心O形成的三角形ΔOT1T2里讨论:∠OT1T2<90º,
不难得出①了-----每相邻3点所构成的角小于180º,那么这个图形为凸n多边形.
③"圆心不能选在某两点的连线上",是为了搭建起的圆的框架的完成性,
参照下图,
T2 T3
TS
T1_______O______T2
当圆心选在T1 T2的连线上,同时T2,T3比TS开始位置远,TS沿12点方向爬,T2沿10点半方向爬,而T3沿1点半方向爬,的话
它们构成的是半圆,T2TST3形成的角为凹角了.
而不符合前面理论的成立条件:在圆里面(并非半圆),故圆心不能选在连线上.
有疑问的可联系我,我对这类比较敢兴趣,需要能与你探讨
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