几何数学竞赛题在Rt△ABC中,∠ACB=900,CD⊥AB于D,AE平分∠BAC,交CD于K,交BC于E,F是BE上一点,且BF=CE,求证：FK‖AB

几何数学竞赛题在Rt△ABC中,∠ACB=900,CD⊥AB于D,AE平分∠BAC,交CD于K,交BC于E,F是BE上一点,且BF=CE,求证：FK‖AB
几何数学竞赛题
在Rt△ABC中,∠ACB=900,CD⊥AB于D,AE平分∠BAC,交CD于K,交BC于E,F是BE上一点,且BF=CE,求证：FK‖AB

几何数学竞赛题在Rt△ABC中,∠ACB=900,CD⊥AB于D,AE平分∠BAC,交CD于K,交BC于E,F是BE上一点,且BF=CE,求证：FK‖AB
证明：
因为：∠ACB=90°,CD⊥AB
所以：△ABC∽△ADC
所以：AB/AC=AC/AD.3）
因为：AE平分∠BAC
所以：AC/AD=CK/KD.1）
BE/CE=AB/AC
因为：BF=CE
所以：CE+EF=BE+EF=CF=BE
所以：AB/AC=CF/BF.2）
由1）、2）3）：
所以：CK/KD=CF/BF
所以：FK‖AB

令EH垂直AB于H，交FK于J，则EH平行于CD，
KJ:KF=CE:CF=CE:BE=AC:AB=AH:AB，即KJ:JF=AH:HB，
然后说明FK与AB平行是很容易的。
假如FK与AB不平行，那么过J点作PQ平行于AB，交EA于P，交EB于Q，
那么PJ:QJ=AH:BH=KJ:JF，三角形JKP与三角形JFQ相似，角JKP与角JFQ相等，于是EA与EB平行，...

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令EH垂直AB于H，交FK于J，则EH平行于CD，
KJ:KF=CE:CF=CE:BE=AC:AB=AH:AB，即KJ:JF=AH:HB，
然后说明FK与AB平行是很容易的。
假如FK与AB不平行，那么过J点作PQ平行于AB，交EA于P，交EB于Q，
那么PJ:QJ=AH:BH=KJ:JF，三角形JKP与三角形JFQ相似，角JKP与角JFQ相等，于是EA与EB平行，矛盾。
不过楼上的解法简洁得多。

收起

在AB上取AG=AC
易证三角形AKC与三角形AKG全等
KC=KG
又角AEC=角CKE=角AKD=90-1/2角A
所以GK=CK=CE=BF
所以BGKF是平行四边形
因此FK//BG