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各门科学的数学化
数学究竟是什么呢?我们说,数学是研究现实世界空间形式和数量关系的一门科学．它在现代生活和现代生产中的应用非常广泛,是学习和研究现代科学技术必不可少的基本工具．
同其他科学一样,数学有着它的过去、现在和未来．我们认识它的过去,就是为了了解它的现在和未来．近代数学的发展异常迅速,近30多年来,数学新的理论已经超过了18、19世纪的理论的总和．预计未来的数学成就每“翻一番”要不了10年．所以在认识了数学的过去以后,大致领略一下数学的现在和未来,是很有好处的．
现代数学发展的一个明显趋势,就是各门科学都在经历着数学化的过程．
例如物理学,人们早就知道它与数学密不可分．在高等学校里,数学系的学生要学普通物理,物理系的学生要学高等数学,这也是尽人皆知的事实了．
又如化学,要用数学来定量研究化学反应．把参加反应的物质的浓度、温度等作为变量,用方程表示它们的变化规律,通过方程的“稳定解”来研究化学反应．这里不仅要应用基础数学,而且要应用“前沿上的”、“发展中的”数学．
再如生物学方面,要研究心脏跳动、血液循环、脉搏等周期性的运动．这种运动可以用方程组表示出来,通过寻求方程组的“周期解”,研究这种解的出现和保持,来掌握上述生物界的现象．这说明近年来生物学已经从定性研究发展到定量研究,也是要应用“发展中的”数学．这使得生物学获得了重大的成就．
谈到人口学,只用加减乘除是不够的．我们谈到人口增长,常说每年出生率多少,死亡率多少,那么是否从出生率减去死亡率,就是每年的人口增长率呢?不是的．事实上,人是不断地出生的,出生的多少又跟原来的基数有关系；死亡也是这样．这种情况在现代数学中叫做“动态”的,它不能只用简单的加减乘除来处理,而要用复杂的“微分方程”来描述．研究这样的问题,离不开方程、数据、函数曲线、计算机等,最后才能说清楚每家只生一个孩子如何,只生两个孩子又如何等等．
还有水利方面,要考虑海上风暴、水源污染、港口设计等,也是用方程描述这些问题再把数据放进计算机,求出它们的解来,然后与实际观察的结果对比验证,进而为实际服务．这里要用到很高深的数学．
谈到考试,同学们往往认为这是用来检查学生的学习质量的．其实考试手段（口试、笔试等等）以及试卷本身也是有质量高低之分的．现代的教育统计学、教育测量学,就是通过效度、难度、区分度、信度等数量指标来检测考试的质量．只有质量合格的考试才能有效地检测学生的学习质量．
至于文艺、体育,也无一不用到数学．我们从中央电视台的文艺大奖赛节目中看到,给一位演员计分时,往往先“去掉一个最高分”,再“去掉一个最低分”．然后就剩下的分数计算平均分,作为这位演员的得分．从统计学来说,“最高分”、“最低分”的可信度最低,因此把它们去掉．这一切都包含着数学道理．
我国著名的数学家关肇直先生说：“数学的发明创造有种种,我认为至少有三种：一种是解决了经典的难题,这是一种很了不起的工作；一种是提出新概念、新方法、新理论,其实在历史上起更大作用的、历史上著名的正是这种人；还有一种就是把原来的理论用在崭新的领域,这是从应用的角度有一个很大的发明创造．”我们在这里所说的,正是第三种发明创造．“这里繁花似锦,美不胜收,把数学和其他各门科学发展成综合科学的前程无限灿烂．”
正如华罗庚先生在1959年5月所说的,近100年来,数学发展突飞猛进,我们可以毫不夸张地用“宇宙之大、粒子之微、火箭之速、化工之巧、地球之变、生物之谜、日用之繁等各个方面,无处不有数学”来概括数学的广泛应用．可以预见,科学越进步,应用数学的范围也就越大．一切科学研究在原则上都可以用数学来解决有关的问题．可以断言：只有现在还不会应用数学的部门,却绝对找不到原则上不能应用数学的领域．
"数学是一切科学之母"、"数学是思维的体操",它是一门研究数与形的科学,它不处不在.要掌握技术,先要学好数学,想攀登科学的高峰,更要学好数学.
数学,与其他学科比起来,有哪些特点?它有什么相应的思想方法?它要求我们具备什么样的主观条件和学习方法?本讲将就数学学科的特点,数学思想以及数学学习方法作简要的阐述.
一、数学的特点（一）
数学的三大特点严谨性、抽象性、广泛的应用性所谓数学的严谨性,指数学具有很强的逻辑性和较高的精通性,一般以公理化体系来体现.
什么是公理化体系呢?指得是选用少数几个不加定义的概念和不加逻辑证明的命题为基础,推出一些定理,使之成为数学体系,在这方面,古希腊数学家欧几里得是个典范,他所著的《几何原本》就是在几个公理的基础上研究了平面几何中的大多数问题.在这里,哪怕是最基本的常用的原始概念都不能直观描述,而要用公理加以确认或证明.
中学数学和数学科学在严谨性上还是有所区别的,如,中学数学中的数集的不断扩充,针对数集的运算律的扩充并没有进行严谨的推证,而是用默认的方式得到,从这一点看来,中学数学在严谨性上还是要差很多,但是,要学好数学却不能放松严谨性的要求,要保证内容的科学性.
比如,等差数列的通项是通过前若干项的递推从而归纳出通项公式,但要予以确认,还需要用数学归纳法进行严格的证明.
数学的抽象性表现在对空间形式和数量关系这一特性的抽象.它在抽象过程中抛开较多的事物的具体的特性,因而具有十分抽象的形式.它表现为高度的概括性,并将具体过程符号化,当然,抽象必须要以具体为基础.
至于数学的广泛的应用性,更是尽人皆知的.只是在以往的教学、学习中,往往过于注重定理、概念的抽象意义,有时却抛却了它的广泛的应用性,如果把抽象的概念、定理比作骨骼,那么数学的广泛应用就好比血肉,缺少哪一个都将影响数学的完整性.高中数学新教材中大量增加数学知识的应用和研究性学习的篇幅,就是为了培养同学们应用数学解决实际问题的能力.
二、高中数学的特点往往有同学进入高中以后不能适应数学学习,进而影响到学习的积极性,甚至成绩一落千丈.为什么会这样呢?让我们先看看高中数学和初中数学有些什么样的转变吧.
1、理论加强2、课程增多3、难度增大4、要求提高三、掌握数学思想高中数学从学习方法和思想方法上更接近于高等数学.学好它,需要我们从方法论的高度来掌握它.我们在研究数学问题时要经常运用唯物辩证的思想去解决数学问题.数学思想,实质上就是唯物辩证法在数学中的运用的反映.中学数学学习要重点掌握的的数学思想有以上几个：集合与对应思想,初步公理化思想,数形结合思想,运动思想,转化思想,变换思想.
例如,数列、一次函数、解析几何中的直线几个概念都可以用函数（特殊的对应）的概念来统一.又比如,数、方程、不等式、数列几个概念也都可以统一到函数概念.
再看看下面这个运用"矛盾"的观点来解题的例子.
已知动点Q在圆x2+y2=1上移动,定点P（2,0）,求线段PQ中点的轨迹.
分析此题,图中P、Q、M三点是互相制约的,而Q点的运动将带动M点的运动；主要矛盾是点Q的运动,而点Q的运动轨迹遵循方程x02+y02=1①；次要矛盾关系：M是线段PQ的中点,可以用中点公式将M的坐标（x,y）用点Q的坐标表示出来.
x=(x0+2)/2 ②y=y0/2 ③显然,用代入的方法,消去题中的x0、y0就可以求得所求轨迹.
数学思想方法与解题技巧是不同的,在证明或求解中,运用归纳、演绎、换元等方法解题问题可以说是解题的技术性问题,而数学思想是解题时带有指导性的普遍思想方法.在解一道题时,从整体考虑,应如何着手,有什么途径?就是在数学思想方法的指导下的普遍性问题.
有了数学思想以后,还要掌握具体的方法,比如：换元、待定系数、数学归纳法、分析法、综合法、反证法等等.只有在解题思想的指导下,灵活地运用具体的解题方法才能真正地学好数学,仅仅掌握具体的操作方法,而没有从解题思想的角度考虑问题,往往难于使数学学习进入更高的层次,会为今后进入大学深造带来很有麻烦.
在具体的方法中,常用的有：观察与实验,联想与类比,比较与分类,分析与综合,归纳与演绎,一般与特殊,有限与无限,抽象与概括等.
要打赢一场战役,不可能只是勇猛冲杀、一不怕死二不怕苦就可以打赢的,必须制订好事关全局的战术和策略问题.解数学题时,也要注意解题思维策略问题,经常要思考：选择什么角度来进入,应遵循什么原则性的东西.一般地,在解题中所采取的总体思路,是带有原则性的思想方法,是一种宏观的指导,一般性的解决方案.
中学数学中经常用到的数学思维策略有：
以简驭繁、数形结全、进退互用、化生为熟、正难则反、倒顺相还、动静转换、分合相辅如果有了正确的数学思想方法,采取了恰当的数学思维策略,又有了丰富的经验和扎实的基本功,一定可以学好高中数学.
四、学习方法的改进身处应试教育的怪圈,每个教师和学生都不由自主地陷入"题海"之中,教师拍心某种题型没讲,高考时做不出,学生怕少做一道题,万一考了损失太惨重,在这样一种氛围中,往往忽视了学习方法的培养,每个学生都有自己的方法,但什么样的学习方法才是正确的方法呢?是不是一定要"博览群题"才能提高水平呢?
现实告诉我们,大胆改进学习方法,这是一个非常重大的问题.
（一）
学会听、读我们每天在学校里都在听老师讲课,阅读课本或者资料,但我们听和读对不对呢?
让我们从听（听讲、课堂学习）和读（阅读课本和相关资料）两方面来谈谈吧.
学生学习的知识,往往是间接的知识,是抽象化、形式化的知识,这些知识是在前人探索和实践的基础上提炼出来的,一般不包含探索和思维的过程.因此必须听好老师讲课,集中注意力,积极思考问题.弄清讲得内容是什么?怎么分析?理由是什么?采用什么方法?还有什么疑问?只有这样,才可能对教学内容有所理解.
听讲的过程不是一个被动参预的过程,在听讲的前提下,还要展开来分析：这里用了什么思想方法,这样做的目的是什么?为什么老师就能想到最简捷的方法?这个题有没有更直接的方法?
"学而不思则罔,思而不学则殆",在听讲的过程中一定要有积极的思考和参预,这样才能达到最高的学习效率.
阅读数学教材也是掌握数学知识的非常重要的方法.只有真正阅读和数学教材,才能较好地掌握数学语言,提高自学能力.一定要改变只做题不看书,把课本当成查公式的辞典的不良倾向.阅读课本,也要争取老师的指导.阅读当天的内容或一个单元一章的内容,都要通盘考虑,要有目标.
比如,学习反正弦函数,从知识上来讲,通过阅读,应弄请以下几个问题：
(1) 是不是每个函数都有反函数,如果不是,在什么情况下函数有反函数?
（2）正弦函数在什么情况下有反函数?若有,其反函数如何表示?
（3）正弦函数的图象与反正弦函数的图象是什么关系?
（4）反正弦函数有什么性质?
（5）如何求反正弦函数的值?
（二）
学会思考爱因斯坦曾说："发展独立思考和独立判断的一般能力应当始终放在首位",勤于思考,善于思考,是对我们学习数学提出的最基本的要求.一般来说,要尽力做到以下两点.
1、善于发现问题和提出问题2、善于反思与反求