在区间[-2,0],用估值定理,估计定积分e^(x^2-x) dx 的值大于等于2e^6,小于等于2e^(-1/4).但我老是求不出来,

在区间[-2,0],用估值定理,估计定积分e^(x^2-x) dx 的值大于等于2e^6,小于等于2e^(-1/4).但我老是求不出来,
在区间[-2,0],用估值定理,估计定积分e^(x^2-x) dx 的值
大于等于2e^6,小于等于2e^(-1/4).但我老是求不出来,

在区间[-2,0],用估值定理,估计定积分e^(x^2-x) dx 的值大于等于2e^6,小于等于2e^(-1/4).但我老是求不出来,
设f（x）=e^(x^2-x)=exp(x^2-x)=exp[(x-1/2)^2-1/4]
对于(x-1/2)^2-1/4,在[-2,0]当x=1/2取最小值-1/4,当x=-2取最大值6
因此区间[-2,0],e^(-1/4f（x)≤e^6
根据估值定理,f（x)最小值*（0-（-2））)≤f（x)在[-2,0]的积分≤f（x)最大值*（0-（-2））
所以区间[-2,0],定积分e^(x^2-x) dx 的值大于等于2e^6,小于等于2e^(-1/4).

你这个参考答案应该是不对的。
f(x)=e^(x^2-x) 在区间[-2,0]上的最小值是x=0时f(0)=1，最大值是x=-2时f(-2)=e^6
根据估值定理在区间[-2,0]定积分e^(x^2-x) dx 的值应该大于2，小于2e^6

令g(x)=x^2-x=(x-1/2)^2-1/4,
而在[-2,0]上g(x)=(x-1/2)^2-1/4是单调递减的，所以
g(0)<= (x-1/2)^2-1/4 <=g(-2),
即0<= (x-1/2)^2-1/4 <=6
于是1=e^0<=e^(x^2-x)<=e^6
上述不等式在[-2,0]上积分得（注意不等号的方向不变）
2<=e^(...

全部展开

令g(x)=x^2-x=(x-1/2)^2-1/4,
而在[-2,0]上g(x)=(x-1/2)^2-1/4是单调递减的，所以
g(0)<= (x-1/2)^2-1/4 <=g(-2),
即0<= (x-1/2)^2-1/4 <=6
于是1=e^0<=e^(x^2-x)<=e^6
上述不等式在[-2,0]上积分得（注意不等号的方向不变）
2<=e^(x^2-x)的积分<=2e^6.
参考答案的结果是不对的，它实际上用到了x=1/2时的函数值，
而x=1/2并不在[-2,0]这个区间内.
相信你的结果和我的结果是一样的.

收起

函数 x^2-x=(x-1/2)^2-1/4，在[-2，0] 上为减函数，
因此，e^(x^2-x) 在[-2，0]上最大值=e^(4+2)=e^6，最小值=e^(0-0)=1，
所以 1*[0-(-2)]<=∫[-2，0]e^(x^2-x)dx<=e^6*[0-(-2)]，
即 2<=∫[-2，0]e^(x^2-x)dx<=2e^6。
（注：1) 你把那两个界限弄...

全部展开

函数 x^2-x=(x-1/2)^2-1/4，在[-2，0] 上为减函数，
因此，e^(x^2-x) 在[-2，0]上最大值=e^(4+2)=e^6，最小值=e^(0-0)=1，
所以 1*[0-(-2)]<=∫[-2，0]e^(x^2-x)dx<=e^6*[0-(-2)]，
即 2<=∫[-2，0]e^(x^2-x)dx<=2e^6。
（注：1) 你把那两个界限弄反了。2) 下限2要优于 2*e^(-1/4) ）

收起