已知sinΘ和cosΘ是源于x的方程x^2-2xsina+sin^2b=0的根.求证：2cos2a=cos2b

已知sinΘ和cosΘ是源于x的方程x^2-2xsina+sin^2b=0的根.求证：2cos2a=cos2b
已知sinΘ和cosΘ是源于x的方程x^2-2xsina+sin^2b=0的根.求证：2cos2a=cos2b

已知sinΘ和cosΘ是源于x的方程x^2-2xsina+sin^2b=0的根.求证：2cos2a=cos2b
sin^2Θ+cos^2Θ=（sinΘ+cosΘ) ^2-2sinΘcosΘ=1
根据韦达定理翻译
sinΘ+cosΘ=-2sina
sinΘcosΘ=sin^2b
所以（sinΘ+cosΘ) ^2-2sinΘcosΘ=4sin^2a-2sin^b=1
4sin^2a-2sin^2b=1
-1-2sin^2b=-4sin^a
1-2sin^2b=2-4sin^a=2(1-2sin^a)
cos2b=2cos2a
得证

由韦达定理得
sinΘ+cosΘ=2sina---①
sinΘcosΘ=sin^2b---②
①*①-2*②
得
1=4sin^2a-sin^2b
于是
2-4sin^2a=1-sin^2b
即
2cos2a=cos2b
命题成立