△ABC的三边长分别为4,5,6,p为三角形内部任意一点,p到三边的距离分别为x,y,z,求x²+y²+z²
来源：学生作业帮助网 编辑：六六作业网 时间：2024/12/21 23:34:19
△ABC的三边长分别为4,5,6,p为三角形内部任意一点,p到三边的距离分别为x,y,z,求x²+y²+z²
△ABC的三边长分别为4,5,6,p为三角形内部任意一点,p到三边的距离分别为x,y,z,求x²+y²+z²
△ABC的三边长分别为4,5,6,p为三角形内部任意一点,p到三边的距离分别为x,y,z,求x²+y²+z²
证明:下面给出更一般的结论.
设P是任意△ABC中的一个动点,P到△ABC的三边BC,CA,AB的距离分别是X、Y、Z,令BC=a,CA=b,AB=c,S是△ABC的面积.
根据面积公式,显然有:
a*X+b*Y+c*Z=2S (1)
由柯西不等式得:
(a^2+b^2+c^2)*(X^2+Y^2+Z^2)≥(a*X+b*Y+c*Z)^2==4S^2
所以有
X^2+Y^2+Z^2≥4S^2/(a^2+b^2+c^2) (2)
当且仅当P为△ABC的类似重心时等号成立.
因此对于任意△ABC,X^2+Y^2+Z^2的最小值为:
4S^2/(a^2+b^2+c^2).
根据（海伦公式）（p=(a+b+c)/2）
S=√[p(p-a)(p-b)(p-c)] =15（√7）/2,从而得出最小值225/11.
15.75
根据面积公式，显然有:
a*X+b*Y+c*Z=2S (1)
由柯西不等式得:
(a^2+b^2+c^2)*(X^2+Y^2+Z^2)≥(a*X+b*Y+c*Z)^2==4S^2
所以有
X^2+Y^2+Z^2≥4S^2/(a^2+b^2+c^2) (2)
当且仅当P为△ABC的类似重心时等号成立。
因此对于任意△ABC，X^2...
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根据面积公式，显然有:
a*X+b*Y+c*Z=2S (1)
由柯西不等式得:
(a^2+b^2+c^2)*(X^2+Y^2+Z^2)≥(a*X+b*Y+c*Z)^2==4S^2
所以有
X^2+Y^2+Z^2≥4S^2/(a^2+b^2+c^2) (2)
当且仅当P为△ABC的类似重心时等号成立。
因此对于任意△ABC，X^2+Y^2+Z^2的最小值为:
4S^2/(a^2+b^2+c^2).
根据（海伦公式）（p=(a+b+c)/2）
S=√[p(p-a)(p-b)(p-c)] =15（√7）/2，从而得出最小值225/11。
收起
自己动动脑筋，相信自己行！