点.直线.平面之间的位置关系综合 (12 17:26:49)在正方体ABCD-A1B1C1D1中,M是AA1的中点,求证：MBD⊥平面BDC1
来源：学生作业帮助网 编辑：六六作业网 时间：2024/11/26 09:52:05
点.直线.平面之间的位置关系综合 (12 17:26:49)在正方体ABCD-A1B1C1D1中,M是AA1的中点,求证：MBD⊥平面BDC1
点.直线.平面之间的位置关系综合 (12 17:26:49)
在正方体ABCD-A1B1C1D1中,M是AA1的中点,求证：MBD⊥平面BDC1
点.直线.平面之间的位置关系综合 (12 17:26:49)在正方体ABCD-A1B1C1D1中,M是AA1的中点,求证：MBD⊥平面BDC1
设边长为2
取BD的中点N,连结MD,C1D,则易证MN垂直BD,C1N垂直BD,
所以角MNC1是二面角M-BD-C1的平面角.
而MC1的平方=A1C的平方+A1M的平方=8+1=9
MN的平方=MA的平方+AN的平方=1+2=3
NC1的平方=CC1的平方+C1N的平方=4+2=6
从而MC1的平方=MN的平方+NC1的平方
由勾股定理知角MNC1=90度,即平面MBD垂直平面BDC1
可以间接来求：
二面角A-BD-M加上二面角M-BD-C1再加上二面角C1-BD-C为平角，即180度，而二面角A-BD-M的 正切值为二分之根号二；二面角C1-BD-C的正切值为根号二，它们的乘积为1，故互补，故二面角M-BD-C1为90度，即MBD⊥平面BDC1 。
证法一： 设正方体边长为2 取BD中点为N，连接MN、C1N、C1M、A1C1 由ABCD-A1B1C1D1为正方体可知 MD=MB 又ND=NB 所以MN⊥BD 同理：C1N⊥BD 所以∠MNC1即为面MBD与面C1BD所成二面角的平面角 又可求得MD=√5,ND=√2,C1D=2√2 所以MN=√3,C1N=√6 又可求得：MC1=3 所以MC1^2=MN^2+C1N^2=9 所以∠MNC1=90度 即面MBD⊥面BDC1 解题关键：将求面面垂直转化为求两平面的二面角的平面角为90度 证法二： 设设正方体边长为2 取BD中点为N，连接MN、C1N 取AB、A1B1中点分别为E、F,连接EF、AB1、MF、NF 由ABCD-A1B1C1D1为正方体可知 MF//AB1//DC1 通过EN与EF可求得NF 然后有NF^2=MF^2+MN^2 所以MN⊥MF 则MN⊥DC1 又MN⊥BD 所以MN⊥面BDC1 MN属于面MBD 所以面MBD⊥面BDC1 解题关键：将求面面垂直转化为求线面垂直