已知D为等腰直角三角形ABC斜边BC上如图1,：已知D为等腰直角三角形ABC斜边BC上的一个动点（D不与B、C均不重合）,连结AD,△ADE是等腰直角三角形,DE为斜边,连结CE①判断∠ECD的度数,并说明理由②
来源：学生作业帮助网 编辑：六六作业网 时间：2024/12/22 15:05:49
已知D为等腰直角三角形ABC斜边BC上如图1,：已知D为等腰直角三角形ABC斜边BC上的一个动点（D不与B、C均不重合）,连结AD,△ADE是等腰直角三角形,DE为斜边,连结CE①判断∠ECD的度数,并说明理由②
已知D为等腰直角三角形ABC斜边BC上
如图1,：已知D为等腰直角三角形ABC斜边BC上的一个动点（D不与B、C均不重合）,连结AD,△ADE是等腰直角三角形,DE为斜边,连结CE
①判断∠ECD的度数,并说明理由
②②当△ABC、△ADE 都是等边三角形,D 点为△ABC 中BC 边上的一个动点(D 与B、C 均不重合)且△DCE 的周长最小时,求∠EDC 的度数
已知D为等腰直角三角形ABC斜边BC上如图1,：已知D为等腰直角三角形ABC斜边BC上的一个动点（D不与B、C均不重合）,连结AD,△ADE是等腰直角三角形,DE为斜边,连结CE①判断∠ECD的度数,并说明理由②
①∠EDC=90°
∠CAE+∠DAC=∠BAD+∠DAC=90°
∴∠CAE=∠BAD
在△AEC和△ADB中,AC=AB,AD=AE,∠CAE=∠BAD
∴△AEC≌△ADB（边角边）
∴∠ACE=∠B=45°
∴∠ECD=∠ACE+∠ACD=45°+45°=90°
②当△ABC、△ADE 都是等边三角形时,则每个角的角度都为60°.
同理,此时△AEC≌△ADB（边角边）
∴CE=BD.
此时△DCE的周长L=DC+CE+ED=DC+BD+AD=BC+AD
因为△ABC是确定的,所以BC是确定长度的；但D点时可动点,因而AD是变化的；因此当AD最小时,△DCE周长最小.
在等边△ABC中,点A到直线BC的最短距离就是AD⊥BC时 ,此时∠ADC=90°,由于∠ADE=60°,所以此时∠EDC=90°-60°=30°
∠ECD=90°
可证△ABD全等于△ACE（SAS）所以 ∠ECA=∠B=45°，
从而∠ECD=∠ECA+∠ACD=45°+45°=90°
可证△ABD全等于△ACE（SAS），△DCE 的周长=BD+CD+DE=BC+AD，当AD最小，即为BC边边上的高时，△DCE 的周长最小，这时∠EDC=30°
①∠EDC=90°
∠CAE+∠DAC=∠BAD+∠DAC=90°
∴∠CAE=∠BAD
在△AEC和△ADB中，AC=AB，AD=AE，∠CAE=∠BAD
∴△AEC≌△ADB（边角边）
∴∠ACE=∠B=45°
∴∠ECD=∠ACE+∠ACD=45°+45°=90°
②当△ABC、△ADE 都是等边三角形时，则每个角的角度都为60°。
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①∠EDC=90°
∠CAE+∠DAC=∠BAD+∠DAC=90°
∴∠CAE=∠BAD
在△AEC和△ADB中，AC=AB，AD=AE，∠CAE=∠BAD
∴△AEC≌△ADB（边角边）
∴∠ACE=∠B=45°
∴∠ECD=∠ACE+∠ACD=45°+45°=90°
②当△ABC、△ADE 都是等边三角形时，则每个角的角度都为60°。
同理，此时△AEC≌△ADB（边角边）
∴CE=BD。
此时△DCE的周长L=DC+CE+ED=DC+BD+AD=BC+AD
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