在rt三角形ABC中,角C=90°,AC=4,角A=60°,CD是边AB上的中线,直线BM在Rt△ABC中,∠C=90°,AC=4,∠A=60°,CD是边AB上的中线,直线BM∥AC,E是边CA延长线上一点,ED交直线BM于点F,将△EDC沿CD翻折得△E'DC ,射线DE'交直
来源：学生作业帮助网 编辑：六六作业网 时间：2024/12/18 12:49:36
在rt三角形ABC中,角C=90°,AC=4,角A=60°,CD是边AB上的中线,直线BM在Rt△ABC中,∠C=90°,AC=4,∠A=60°,CD是边AB上的中线,直线BM∥AC,E是边CA延长线上一点,ED交直线BM于点F,将△EDC沿CD翻折得△E'DC ,射线DE'交直
在rt三角形ABC中,角C=90°,AC=4,角A=60°,CD是边AB上的中线,直线BM
在Rt△ABC中,∠C=90°,AC=4,∠A=60°,CD是边AB上的中线,直线BM∥AC,E是边CA延长线上一点,ED交直线BM于点F,将△EDC沿CD翻折得△E'DC ,射线DE'交直线BM于点G．
（1）如图1,当CD⊥EF时,求BF的值；
（2）如图2,当点G在点F的右侧时；
①求证：△BDF∽△BGD；
②设AE=x,△DFG的面积为y,求y关于x的函数解析式,并写出x的取值范围；
（3）如果△DFG的面积为6根号3 ,求AE的长．
在rt三角形ABC中,角C=90°,AC=4,角A=60°,CD是边AB上的中线,直线BM在Rt△ABC中,∠C=90°,AC=4,∠A=60°,CD是边AB上的中线,直线BM∥AC,E是边CA延长线上一点,ED交直线BM于点F,将△EDC沿CD翻折得△E'DC ,射线DE'交直
【第（1）题】
在Rt△ABC中,CD为斜边AB上的中线
∴CD = AD = (1/2)AB
而,∠BAC=60°,
∴△ACD为等边三角形
即有,∠BAC=∠ECD=60°,AC=CD
又,CD⊥EF 即,∠ACB=∠CDE=90°
∴△ABC≌△CED（AAS）
∴CE=AB = 2*AC
即,AE = AC = 4
又,BM//AC,AD=BD,易证△ADE≌△BDF（AAS）
∴EF=AE = 4
【第（2）题】
①证明：设∠ADE=∠BDF= α
∵外角∠CAD = ∠AED + α = 60°
∴∠AED = 60°- α
而,∠BDG = 180° - ∠BCD - ∠CBD - ∠CDE’‘………………………………（*）
由（1）得,△ACD为等边三角形
则有,∠BCD +∠CBD = ∠ADC = 60°
由题意,△CDE‘’是△CDE翻折所得
∴△CDE‘’≌△CDE
则有,∠CDE‘’=∠CDE = 60°+ α
代入（*）式,得
∠BDG = 180° - 60° -（60°+ α） = 60° - α
∴∠AED = ∠BDG
又,BM//AC
∴∠AED = ∠BFD
∴∠BFD = ∠BDG
而,∠DBG为△BDF和△BGD的公共角
∴△BDF∽△BGD 得证 （证毕）
②过点D作DN⊥BM于N,
∵D为Rt△ABC斜边AB上的中点,
易证DN= (1/2)BC= (1/2)AC*tan60° = (1/2)*4*√3 = 2√3
由①得,△BDF∽△BGD
∴BF：BD = BD：BG
∴BG = BD²/BF
∴FG = BG - BF = BD²/BF - BF
而,BD = AD = AC = 4,BF = AF = x
代入,得
FG = (16/x) - x
∴ S△DFG = (1/2)DN*FG = (1/2)*2√3*[ (16/x) - x ]
即,y = (16√3 /x ) － √3 x
∵点G必须在点F右侧,
画图可知,∠CDE的度数必须在区间（60°,90°）内
当∠CDE=60°时,x=AE=0
当∠CDE=90°时,x=AE=AC = 4 （已证）
∴ 0＜x＜4
【第（3）题】
当 y = 6√3时,
即,(16√3 /x ) － √3 x = 6√3
解得,x = -8（舍去）,或 x = 2
∴当S△DFG = 6√3时,AE = 2
6根号=0.848526，0.848526*3/xy=4