在三棱锥P-ABC中,三角形PAB是等边三角形,∠PAC=∠PBC=90*(1)证明:AB⊥PC(2)若PC=4,且平面PAC垂直平面PBC,求三棱锥P-ABC的体积.
来源:学生作业帮助网 编辑:六六作业网 时间:2025/01/23 00:51:32
在三棱锥P-ABC中,三角形PAB是等边三角形,∠PAC=∠PBC=90*(1)证明:AB⊥PC(2)若PC=4,且平面PAC垂直平面PBC,求三棱锥P-ABC的体积.
在三棱锥P-ABC中,三角形PAB是等边三角形,∠PAC=∠PBC=90*
(1)证明:AB⊥PC
(2)若PC=4,且平面PAC垂直平面PBC,求三棱锥P-ABC的体积.
在三棱锥P-ABC中,三角形PAB是等边三角形,∠PAC=∠PBC=90*(1)证明:AB⊥PC(2)若PC=4,且平面PAC垂直平面PBC,求三棱锥P-ABC的体积.
(1) △PAB是等边三角形,∠PAC=∠PBC=90° PA=PB,PC=PC,RtΔPBC≌RtΔPAC,AC=BC 取AB中点D,连接PD,CD,则,CD⊥AB,PD⊥AB===>AB⊥平面PDC PC∈平面PDC,则AB⊥PC
(2) PC=4,设PA=PB=AB=a.则,BC^2=PC^2-PB^2=16-a^2=AC^2 BC^2-BD^2=16-a^2-a^2/4=16-5a^2/4=CD^2 在三角形PAC、PBC中,自A、B分别作(因全等)AE⊥PC、BE⊥PC 有:1/AE^2=1/PA^2+1/AC^2=1/a^2+1/(16-a^2)=[16/(a^2(16- a^2)] AE^2=a^2(16-a^2)/16
∵ 平面PAC⊥平面PBC ∴ AE⊥BE,PC⊥平面AEB 2*AE^2=a^2,即2a^2(16-a^2)=16a^2 16-a^2=8,a=2√2 V=Vc-abe+Vp-abe=(1/3)*[AE*BE*(1/2)]*(PE+CE) =(1/6)*(2√2)^2*4=32/6=16/3