如图在△abc中,外角∠cbd和∠bce的平分线bf,cf交于点f,求证,点f在∠bac的平分线不能加图片
来源：学生作业帮助网 编辑：六六作业网 时间：2024/11/22 07:48:45
如图在△abc中,外角∠cbd和∠bce的平分线bf,cf交于点f,求证,点f在∠bac的平分线不能加图片
如图在△abc中,外角∠cbd和∠bce的平分线bf,cf交于点f,求证,点f在∠bac的平分线
不能加图片
如图在△abc中,外角∠cbd和∠bce的平分线bf,cf交于点f,求证,点f在∠bac的平分线不能加图片
(1)设AP与BC相交于点Q
延长AB至D使得BD＝BQ
延长AC至E使得CE＝CQ
∵PB是ΔABC的外角平分线
∴∠PBD＝∠PBQ
∵PB＝PB（公共）,BD＝BQ（作图）
∴ΔPBD≌ΔPBQ
∴PD＝PQ,∠PDB＝∠PQB
同理,可得：PE＝PQ,∠PEC＝∠PQC
∵∠PQB与∠PQC互补
∴∠PDB与∠PEC互补
∴PD＝PE,sin∠PDB＝sin∠PEC
由正弦定理,可知：
在ΔPAD中,PA/sin∠PDB＝PD/sin∠PAB
在ΔPAE中,PA/sin∠PEC＝PE/sin∠PAC
∴sin∠PAB＝sin∠PAC
∵∠BAC是ΔABC的内角,即∠BAC
这个实际上是讲三角形的五心中的“旁心”，现在的教材不再提到这个词了。
类似内心，证明如下：
AC的延长线CM，AB的延长线BN
对顶角相等，可以得知，CF也是∠BCM的平分线，BF是∠CBN的平分线。
过F作FH⊥CM于H，FI⊥BC于I，FK⊥BN于K，
CF是BCM的平分线，可以得到：FH=FI
BF是CBN的平分线，可以得到：FK=FI
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这个实际上是讲三角形的五心中的“旁心”，现在的教材不再提到这个词了。
类似内心，证明如下：
AC的延长线CM，AB的延长线BN
对顶角相等，可以得知，CF也是∠BCM的平分线，BF是∠CBN的平分线。
过F作FH⊥CM于H，FI⊥BC于I，FK⊥BN于K，
CF是BCM的平分线，可以得到：FH=FI
BF是CBN的平分线，可以得到：FK=FI
于是FH=FK
于是F在∠BAC的平分线上
收起
过F分别作FM⊥AD于M,FN⊥AE于N,FO⊥BC于O
∵BF平分∠CBD,CF平分∠BCE
∴FM=FO,FO=FN
∴FM=FN
∴F在∠BAC的平分线上
AC的延长线CM，AB的延长线BN
对顶角相等，可以得知，CF也是∠BCM的平分线，BF是∠CBN的平分线。
过F作FH⊥CM于H，FI⊥BC于I，FK⊥BN于K，
CF是BCM的平分线，可以得到：FH=FI
BF是CBN的平分线，可以得到：FK=FI
于是FH=FK
于是F在∠BAC的平分线上