已知直线L1:4x-3y+6=0和直线L2:x=-1抛物线y^2=4x上一动点p到直线L1和直线L2距离之和的最小值是?
来源：学生作业帮助网 编辑：六六作业网 时间：2025/01/21 17:57:52
已知直线L1:4x-3y+6=0和直线L2:x=-1抛物线y^2=4x上一动点p到直线L1和直线L2距离之和的最小值是?
已知直线L1:4x-3y+6=0和直线L2:x=-1抛物线y^2=4x上一动点p到直线L1和直线L2距离之和的最小值是?
已知直线L1:4x-3y+6=0和直线L2:x=-1抛物线y^2=4x上一动点p到直线L1和直线L2距离之和的最小值是?
设抛物线上的一点P的坐标为（a2,2a）,则P到直线l2：x=-1的距离d2=a2+1；
P到直线l1：4x-3y+6=0的距离d1= ,
则d1+d2= +a2+1= ,
当a= 时,P到直线l1和直线l2的距离之和的最小值为2
故答案为2
P在抛物线上，设P(y^2/4，y)
P到L1距离d1=|y^2-3y+6|/√(4^2+3^2)=|y^2-3y+6|/5
∵y^2-3y+6=y^2-3y+(3/2)^2-(3/2)^2+6=(y-3/2)^2+15/4＞0
(也可用判别式△=(-3)^2-4*6=9-24=-15＜0)
∴d1=(y^2-3y+6)/5
P到L2距离d2=|y^2/4+...
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P在抛物线上，设P(y^2/4，y)
P到L1距离d1=|y^2-3y+6|/√(4^2+3^2)=|y^2-3y+6|/5
∵y^2-3y+6=y^2-3y+(3/2)^2-(3/2)^2+6=(y-3/2)^2+15/4＞0
(也可用判别式△=(-3)^2-4*6=9-24=-15＜0)
∴d1=(y^2-3y+6)/5
P到L2距离d2=|y^2/4+1|=y^2/4+1
距离之和d=d1+d2=(y^2-3y+6)/5+y^2/4+1
整理配方得 d=9/20*(y-2/3)^2+2
∴，当y=2/3时，距离之和最小值=2
此时，x=1/9
收起
从P点做垂线到L1，垂足为M，PM为直线L3，在做PN平行x轴，N点在L1上。
又因为 L1垂直L3，k1=4/3 所以k3=-3/4
即L3方程式为：y=-3/4(x-x1)+ 根号x1
PN方程式为：y=1
所以PN与L1交于点（3/2根号x1-3/2，2根号x1）
则PN=-3/2根号x1+3/2+x1
...
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从P点做垂线到L1，垂足为M，PM为直线L3，在做PN平行x轴，N点在L1上。
又因为 L1垂直L3，k1=4/3 所以k3=-3/4
即L3方程式为：y=-3/4(x-x1)+ 根号x1
PN方程式为：y=1
所以PN与L1交于点（3/2根号x1-3/2，2根号x1）
则PN=-3/2根号x1+3/2+x1
根据直角三角形PMN，得出PM=-6/5根号x1+6/5
即：p到直线L1距离最小值是PM=-6/5根号x1+6/5
因为 P点过抛物线y^2=4x上
所以 令P（x1，根号x1）（x1大于等于0）
即：P到L2最小距离 min=x1+1
所以，p到直线L1和直线L2距离之和的最小值是
Min总=x1+1-6/5根号x1+6/5（设根号x1=t，x1=t2）
=9/5[(t-1/3)2+10]
=18
收起