定义在R上的函数y=f(x),f(0)≠0,当x>0时,f(x)>1,且对任意的a,b∈R,有f(a+b)=f(a）*f(b) 1）证明对任意的x∈R,恒有f(x）>0 2）判断函数y=f(x)的单调性 小妹拜谢!
来源：学生作业帮助网 编辑：六六作业网 时间：2024/11/28 01:18:15
定义在R上的函数y=f(x),f(0)≠0,当x>0时,f(x)>1,且对任意的a,b∈R,有f(a+b)=f(a）*f(b) 1）证明对任意的x∈R,恒有f(x）>0 2）判断函数y=f(x)的单调性 小妹拜谢!
定义在R上的函数y=f(x),f(0)≠0,当x>0时,f(x)>1,且对任意的a,b∈R,有f(a+b)=f(a）*f(b)
1）证明对任意的x∈R,恒有f(x）>0
2）判断函数y=f(x)的单调性
小妹拜谢!
定义在R上的函数y=f(x),f(0)≠0,当x>0时,f(x)>1,且对任意的a,b∈R,有f(a+b)=f(a）*f(b) 1）证明对任意的x∈R,恒有f(x）>0 2）判断函数y=f(x)的单调性 小妹拜谢!
（1）f(a+b)=f(a）*f(b),则
f(0+0)=f(0)^2
又f(0)≠0,则
f(0)=1
当x0 ,则
f(a+b)>0
若f(x)0与f(a+b)0
（2）令b=-a,且a>0,则
f(a)*f(-a)=1
又当x>0时,f(x)>1,则
f(a)>1,0
（1）
f(0)=f(0+0)=f(0)*f(0)
因为f(0)≠0，所以f(0)=1.
若存在x<0,使得f(x)=0,则f(0)=f(x-x)=f(x)*f(-x)=0,与f(0)=1矛盾。所以对任意的x∈R，恒有f(x）≠0。
对任意的x∈R
f(x)=f(x/2+x/2)=f(x/2）*f(x/2) 恒大于0
（2）任意的k>0,，x∈R，...
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（1）
f(0)=f(0+0)=f(0)*f(0)
因为f(0)≠0，所以f(0)=1.
若存在x<0,使得f(x)=0,则f(0)=f(x-x)=f(x)*f(-x)=0,与f(0)=1矛盾。所以对任意的x∈R，恒有f(x）≠0。
对任意的x∈R
f(x)=f(x/2+x/2)=f(x/2）*f(x/2) 恒大于0
（2）任意的k>0,，x∈R，有x+k>x
f(x+k)-f(x)=f(x)*f(k)-f(x)=f(x)*(f(k)-1)
因为f(x)>0,当k>0时，f(k)>1
所以f(x+k)-f(x)〉0
所以f(x)在R上单调递增。
收起
不妨设a=b=0，则f(0)=f(0)*f(0),又(0)≠0，=>f(0)=1,设b=-a≠0,则f(0)=f(a)*f(-a)=1,=>f(a)同号，又当x>0时f(x)>1>0,=>f(x)>0
上面解的很好，我只说一点，为什么不设b=0哪？这样就可以很简单得出f(0)=1不是吗？