在平面直角坐标系中,设点P(x,y),M(-4,y),以线段PM为直径的圆经过原点O.1.求动点P的轨迹W的方程.2.过点E(-4,0)的直线L与轨迹W交于两点A、B,点A关于x轴的对称点为,试判断直线是否恒过一个定点?并证
来源：学生作业帮助网 编辑：六六作业网 时间：2024/12/23 14:33:58
在平面直角坐标系中,设点P(x,y),M(-4,y),以线段PM为直径的圆经过原点O.1.求动点P的轨迹W的方程.2.过点E(-4,0)的直线L与轨迹W交于两点A、B,点A关于x轴的对称点为,试判断直线是否恒过一个定点?并证
在平面直角坐标系中,设点P(x,y),M(-4,y),以线段PM为直径的圆经过原点O.
1.求动点P的轨迹W的方程.
2.过点E(-4,0)的直线L与轨迹W交于两点A、B,点A关于x轴的对称点为,试判断直线是否恒过一个定点?并证明你的结论.
在平面直角坐标系中,设点P(x,y),M(-4,y),以线段PM为直径的圆经过原点O.1.求动点P的轨迹W的方程.2.过点E(-4,0)的直线L与轨迹W交于两点A、B,点A关于x轴的对称点为,试判断直线是否恒过一个定点?并证
（1）OP⊥OM
∴OP²+OM²=PM²
即 (x²+y²)+(16+y²)=(x+4)²
即 y²=4x
即动点P的轨迹W的方程y²=4x
（2）
设A(x1,y1),B(x2,y2),
则A关于x轴的对称点A’(x1,-y1)
则 k(A'B)=(y2+y1)/(x2-x1)=4(y2+y1)/(y2²-y1²)=4/(y2-y1)
∴ 直线A'B: y+y1=[4/(y2-y1)](x-y1²/4)
∴ y=[4/(y2-y1)]x-y1y2/(y2-y1) ①
A,B,E共线,
k(AB)=(y2-y1)/(x2-x1)=4(y2-y1)/(y2²-y1²)=4/(y2+y1)
∴ 直线AB: y-y1=[4/(y2+y1)](x-y1²/4)
∴ y=[4/(y2+y1)]x+y1y2/(y2+y1)
∵ AB过E （-4,0）
∴ y1y2=16 ②
②代入①
则 y=[4/(y2-y1)]x-16/(y2-y1)
∴ x=4时,y=0
即 直线是否恒过一个定点（4,0）