若P为三角形ABC所在平面上一点,且角ABC等于角BPC等于角CPA等于120度,则点P叫做三角形ABC的费马点.证明（1）若点P为锐角三角形ABC的费马点,且角ABC等于60度,PA等于3,PC等于4,则PB的为多少
来源：学生作业帮助网 编辑：六六作业网 时间：2024/12/19 14:39:38
若P为三角形ABC所在平面上一点,且角ABC等于角BPC等于角CPA等于120度,则点P叫做三角形ABC的费马点.证明（1）若点P为锐角三角形ABC的费马点,且角ABC等于60度,PA等于3,PC等于4,则PB的为多少
若P为三角形ABC所在平面上一点,且角ABC等于角BPC等于角CPA等于120度,则点P叫做三角形ABC的费马点.证明（1）若点P为锐角三角形ABC的费马点,且角ABC等于60度,PA等于3,PC等于4,则PB的为多少
若P为三角形ABC所在平面上一点,且角ABC等于角BPC等于角CPA等于120度,则点P叫做三角形ABC的费马点.证明（1）若点P为锐角三角形ABC的费马点,且角ABC等于60度,PA等于3,PC等于4,则PB的为多少
∵∠ABC=60度
∴∠ABP+∠CBP=60度
又∵∠ABP+∠PAB=60度
∴∠CBP=∠BAP
又∵∠APB=∠BPC
∴△APB∽△BPC
∴BP的平方=PA×PC
∴PB=2√3
1）∵∠ABC=60度
∴∠ABP+∠CBP=60度
又∵∠ABP+∠PAB=60度
∴∠CBP=∠BAP
又∵∠APB=∠BPC
∴△APB∽△BPC
∴BP的平方=PA×PC
∴PB=2√3
（2）由∠BPA=120°，∠AB′C=60°，
∴A，P，C，B′四点共圆。
∴∠APB′=∠ACB′=60°，
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1）∵∠ABC=60度
∴∠ABP+∠CBP=60度
又∵∠ABP+∠PAB=60度
∴∠CBP=∠BAP
又∵∠APB=∠BPC
∴△APB∽△BPC
∴BP的平方=PA×PC
∴PB=2√3
（2）由∠BPA=120°，∠AB′C=60°，
∴A，P，C，B′四点共圆。
∴∠APB′=∠ACB′=60°，
∴∠APB+∠APB′=180°，
∴BPB′三点共线。
在PB′上取一点D，使得∠PCD=60°，
由∠CPB′=120°-60°=60°，
∴△PCD是等边三角形，得：PC=PD（1），
在△APC和△B′DC中，
AC=B′C，由∠PCD=∠ACB′=60°，
∴∠ACP=∠B′CD，PC=DC，
∴△ACP≌△B′CD，得AP=DB′（2）
由（1），（2)得：
BP+AP+CP=BB′。证毕。
收起
：∵∠ABC=60度
∴∠ABP+∠CBP=60度
又∵∠ABP+∠PAB=60度
∴∠CBP=∠BAP
又∵∠APB=∠BPC
∴△APB∽△BPC
∴BP的平方=PA×PC
∴PB=2√3
不明白的话问我
费马点
定义
在一个多边形中，到每个顶点距离之和最小的点叫做这个多边形的费马点。
在平面三角形中:
(1).三内角皆小于120°的三角形，分别以 AB,BC,CA，为边，向三角形外侧做正三角形ABC1,ACB1,BCA1,然后连接AA1,BB1,CC1,则三线交于一点P,则点P就是所求的费马点.
(2).若三角形有一内角大于或等于120度,则此钝角...
全部展开
费马点
定义
在一个多边形中，到每个顶点距离之和最小的点叫做这个多边形的费马点。
在平面三角形中:
(1).三内角皆小于120°的三角形，分别以 AB,BC,CA，为边，向三角形外侧做正三角形ABC1,ACB1,BCA1,然后连接AA1,BB1,CC1,则三线交于一点P,则点P就是所求的费马点.
(2).若三角形有一内角大于或等于120度,则此钝角的顶点就是所求.
(3)当△ABC为等边三角形时,此时外心与费马点重合
（1） 等边三角形中BP=PC=PA，BP、PC、PA分别为三角形三边上的高和中线、三角上的角分线。是内切圆和外切圆的中心。△BPC≌△CPA≌△PBA。
（2） 当BC=BA但CA≠AB时，BP为三角形CA上的高和中线、三角上的角分线。
证明
(1)费马点对边的张角为120度。
△CC1B和△AA1B中,BC=BA1,BA=BC1,∠CBC1=∠B+60度=∠ABA1,
△CC1B和△AA1B是全等三角形,得到∠PCB=∠PA1B
同理可得∠CBP=∠CA1P
由∠PA1B+∠CA1P=60度，得∠PCB+∠CBP=60度,所以∠CPB=120度
同理,∠APB=120度，∠APC=120度
(2)PA+PB+PC=AA1
将△BPC以点B为旋转中心旋转60度与△BDA1重合，连结PD，则△PDB为等边三角形，所以∠BPD=60度
又∠BPA=120度，因此A、P、D三点在同一直线上，
又∠CPB=∠A1DB=120度，∠PDB=60度，∠PDA1=180度，所以A、P、D、A1四点在同一直线上，故PA+PB+PC=AA1。
(3)PA+PB+PC最短
在△ABC内任意取一点M（不与点P重合），连结AM、BM、CM，将△BMC以点B为旋转中心旋转60度与△BGA1重合，连结AM、GM、A1G(同上)，则AA1
平面四边形中费马点证明相对于三角型中较为简易，也较容易研究。
（1）在凸四边形ABCD中，费马点为两对角线AC、BD交点P。
（2）在凹四边形ABCD中，费马点为凹顶点D（P）。
收起
∵ ∠ABC=∠BAP+∠ABP=60°=∠PBC+∠ABP，∴∠BAP=∠PBC，又∵∠APB=∠BPC=120°，∴△APB∽△BPC，∴AP/BP=BP/PC ∴AP*PC=BP²，∴BP²=3*4=12，∴BP=2根号3