如图,以三角形ABC的边AB,AC为边分别向外作等边三角形ABE和ACD,EC和BD交于点O,求证:AO是角EOD的平分线
来源:学生作业帮助网 编辑:六六作业网 时间:2024/12/18 19:08:44
如图,以三角形ABC的边AB,AC为边分别向外作等边三角形ABE和ACD,EC和BD交于点O,求证:AO是角EOD的平分线
如图,以三角形ABC的边AB,AC为边分别向外作等边三角形ABE和ACD,EC和BD交于点O,求证:AO是角EOD的平分线
如图,以三角形ABC的边AB,AC为边分别向外作等边三角形ABE和ACD,EC和BD交于点O,求证:AO是角EOD的平分线
(图附在后)
1.证三角形AEC全等于三角形ABD
理由如下:AE=AB,角EAC=角BAD=60+角BAC,AC=AD
两三角形全等后即可推出角1=角2,角3=角4
(如果你学过四点共圆的知识,可以直接把其当作定理用的话就看2,否则直接看3)
2.由角3=角4可得出A,E,B,C四点共圆,即可得角5=角7=60
同理可证A,O,C,D四点共圆,角6=角8=60
所以AO为角EOD的平分线.
(非四点共圆的证法)设AB,EO交于点F.
3.由1中角1=角2,又角EFA=角BFO,所以角10=60
故可得三角形EFB相似于三角形EBC,得出EB平方=EF.EO
又由等边三角形可得AE平方=EF.EO,
即AE/EF=EO/AE,又角1=角1,所以三角形AEF相似于三角形OEA,
由此可得角5=角EAF=60,同理可证出角6=60
所以...
总之不用四点共圆是要麻烦点,不过你们若没学过四点共圆或者这个知识不是已经被证明的定理那就只能用别法了.
△AEC≌△ABD
∴∠AEO=∠ABO ∠ACO=∠ADO
∴A、E、B、O四点共圆 A、D、C、O四点共圆
∠AOE=∠ABE=60° ∠AOD=∠ACD=60°
∴AO是角EOD的平分线
过点A做AM垂直EC,过点A做An垂直BD
Ae=AB,AC=AD,∠EAB=∠CaD=60,∠EAB+∠BaC=∠CAD+∠BAC,∠EAC=∠BAD
△EAC≌△BAD∠AEC=∠ABD,EC=EB,∠EMA=∠BNA=90,△EAM≌△BCN,
AM=AN,AO平分角EOD