在正方形ABCD中P是BC边上的一点且BP=3PC,Q是CD的中点求证（1)三角形ADQ与三角形QCP相似(2)PQ垂直于AQ
来源：学生作业帮助网 编辑：六六作业网 时间：2024/11/17 19:48:17
在正方形ABCD中P是BC边上的一点且BP=3PC,Q是CD的中点求证（1)三角形ADQ与三角形QCP相似(2)PQ垂直于AQ
在正方形ABCD中P是BC边上的一点且BP=3PC,Q是CD的中点求证（1)三角形ADQ与三角形QCP相似(2)PQ垂直于AQ
在正方形ABCD中P是BC边上的一点且BP=3PC,Q是CD的中点求证（1)三角形ADQ与三角形QCP相似(2)PQ垂直于AQ
好,如你所愿：证明：由题意设正方形ABCD的边长为a则由P是BC上一点,所以：AD:QC=DQ:PC=AQ:PQ=2:1 则可知：△ADQ与△QCP是相似三角形 (
不妨设正方形ABCD的边长为 4 ，则有：AD = 4 ，DQ = 2 ，CP = 1 。
1）
在△ADQ和△QCP中，∠ADQ = 90°= ∠QCP ，AD/CQ = 2 = DQ/CP ，
所以，△ADQ ∽ △QCP 。
2）
因为，△ADQ ∽ △QCP ，可得：∠AQD = ∠QPC ，
所以，∠AQP = 180°-∠AQD-∠PQC...
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不妨设正方形ABCD的边长为 4 ，则有：AD = 4 ，DQ = 2 ，CP = 1 。
1）
在△ADQ和△QCP中，∠ADQ = 90°= ∠QCP ，AD/CQ = 2 = DQ/CP ，
所以，△ADQ ∽ △QCP 。
2）
因为，△ADQ ∽ △QCP ，可得：∠AQD = ∠QPC ，
所以，∠AQP = 180°-∠AQD-∠PQC = 180°-∠QPC-∠PQC = ∠PCQ = 90° ，
即有：AQ⊥PQ 。
收起
设PC=X
（1）PC/CQ=DQ/AD=1/2
角PCQ=角QDA=90度
边角边定理
（2）勾股定理算
PQ=√5X
AQ=2√5X
AP=5X
AP^2=AQ^2+PQ^2
所以垂直
（1）因为：BP=3PC,所以，PC=BC/4
又ABCD为正方形，所以AB=BC=CD=DA
所以 PC=DA/4=CD/4
又Q是CD中点，所以DQ=CQ=AB/2=BC/2=CD/2=DA/2
所以，PC=DQ/2
...
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（1）因为：BP=3PC,所以，PC=BC/4
又ABCD为正方形，所以AB=BC=CD=DA
所以 PC=DA/4=CD/4
又Q是CD中点，所以DQ=CQ=AB/2=BC/2=CD/2=DA/2
所以，PC=DQ/2
又角ADQ=角QCP＝90度
所以，三角形ADQ与三角形QCP相似（SAS)
(2) 因为：三角形ADQ与三角形QCP相似
PC=DQ/2,CQ=AB/2=BC/2=CD/2=DA/2
所以PC与DQ为相似边
所以它们对应的对角相等，即角DAQ=角PQD
又ABCD为正方形，所以角ADQ为直角
所以角DAQ+角AQD＝90
所以角PQC+角AQD＝90
所以角AQP＝180－角PQC－角AQD＝90
即AQ与PQ垂直
收起