一个是有关勒让德多项式的,一个是平方误差和傅里叶级数有关的,我算了很多遍,都没有算对,答案方法是Pn（x）求两次导数,再求n阶导数,但我始终算不对,而且题目等式中右边的P（x）应该是Pn
来源：学生作业帮助网 编辑：六六作业网 时间：2024/12/24 13:03:53
一个是有关勒让德多项式的,一个是平方误差和傅里叶级数有关的,我算了很多遍,都没有算对,答案方法是Pn（x）求两次导数,再求n阶导数,但我始终算不对,而且题目等式中右边的P（x）应该是Pn
一个是有关勒让德多项式的,一个是平方误差和傅里叶级数有关的,
我算了很多遍,都没有算对,答案方法是Pn（x）求两次导数,再求n阶导数,但我始终算不对,而且题目等式中右边的P（x）应该是Pn（x）
答案就是我写在上面的黑字,那个∑（cn）^2怎么来的.
一个是有关勒让德多项式的,一个是平方误差和傅里叶级数有关的,我算了很多遍,都没有算对,答案方法是Pn（x）求两次导数,再求n阶导数,但我始终算不对,而且题目等式中右边的P（x）应该是Pn
第一个问题:
第二个问题:
设g(x) = f(x)-∑{1 ≤ k ≤ n} c[k]e[k](x), μ[k] = c[k]-λ[k].
则对j = 1,2,...,n,有:
∫{a,b} g(x)e[j](x) dx = ∫{a,b} f(x)e[j](x) dx - ∫{a,b} ∑{1 ≤ k ≤ n} c[k]e[k](x)e[j](x) dx
= c[j] - ∑{1 ≤ k ≤ n} c[k]·∫{a,b} e[k](x)e[j](x) dx
= c[j] - ∑{1 ≤ k ≤ n} c[k]·δ[k,j]
= c[j]-c[j]
= 0.
故∫{a,b} (f(x)-∑{1 ≤ k ≤ n} λ[k]e[k](x))² dx
= ∫{a,b} (g(x)+∑{1 ≤ k ≤ n} μ[k]e[k](x))² dx
= ∫{a,b} g(x)² dx + ∫{a,b} 2·∑{1 ≤ k ≤ n} μ[k]e[k](x)g(x) dx + ∫{a,b} (∑{1 ≤ k ≤ n} μ[k]e[k](x))² dx
≥ ∫{a,b} g(x)² dx + 2·∑{1 ≤ k ≤ n} μ[k]·∫{a,b} e[k](x)g(x) dx
= ∫{a,b} g(x)² dx.
只需证明∫{a,b} g(x)² dx = ∫{a,b} f(x)² dx - ∑{1 ≤ k ≤ n} c[k]².
实际上, ∫{a,b} (∑{1 ≤ k ≤ n} c[k]e[k](x))² dx
= ∫{a,b} (∑{1 ≤ k ≤ n} c[k]e[k](x))(∑{1 ≤ j ≤ n} c[j]e[j](x)) dx
= ∫{a,b} ∑{1 ≤ k,j ≤ n} c[k]c[j]e[k](x)e[j](x) dx
= ∑{1 ≤ k,j ≤ n} c[k]c[j]·∫{a,b} e[k](x)e[j](x) dx
= ∑{1 ≤ k,j ≤ n} c[k]c[j]·δ[k,j]
= ∑{1 ≤ k = j ≤ n} c[k]c[j]
= ∑{1 ≤ k ≤ n} c[k]²
于是∫{a,b} g(x)² dx
= ∫{a,b} (f(x)-∑{1 ≤ k ≤ n} c[k]e[k](x))² dx
= ∫{a,b} f(x)² dx - ∫{a,b} 2·∑{1 ≤ k ≤ n} c[k]e[k](x)f(x) dx + ∫{a,b} (∑{1 ≤ k ≤ n} c[k]e[k](x))² dx
= ∫{a,b} f(x)² dx - 2·∑{1 ≤ k ≤ n} c[k]·∫{a,b} e[k](x)f(x) dx + ∑{1 ≤ k ≤ n} c[k]²
= ∫{a,b} f(x)² dx - ∑{1 ≤ k ≤ n} c[k]²,
即所求证.
注:从几何上比较容易理解这个结论.
但是需要一些线性代数的知识,以及函数空间的观点.
想了解的话请追问.