x的平方+y的平方+2x+2y=1,求 x+y的取值范围
来源：学生作业帮助网 编辑：六六作业网 时间：2025/01/30 14:05:52
x的平方+y的平方+2x+2y=1,求 x+y的取值范围
x的平方+y的平方+2x+2y=1,求 x+y的取值范围
x的平方+y的平方+2x+2y=1,求 x+y的取值范围
你这样,设x+y=m,则y=m-x,把原方程变为圆的方程形式:(x+1)^2+(y+1)^2=3,然后你作出平面坐标轴,则方程y=m-x是斜率为-1,纵截距为m的一条直线,该直线与那个圆有两条切线,找出这两条切线的位置,得出方程,最后求得m值,即为答案.
我算得是-根6-根2 到根6-根2
x+y<=1/2
这题有多种方法，我就用下面的讲解一下，不懂的再问
化简上式，(x^2+2x+1)+(y^2+2y+1)=3
即(x+1)^2+(y+1)^2=3
是一个以(-1,-1)为圆心，根号3为半径的圆
此时令Z=x+y,y=-x+z
画图知，当此直线与圆相切时，有极大值和极小值，即其范围
将y=-x+z代入圆的方程中，即x^2+(z-x)^2+2z=1,化简...
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这题有多种方法，我就用下面的讲解一下，不懂的再问
化简上式，(x^2+2x+1)+(y^2+2y+1)=3
即(x+1)^2+(y+1)^2=3
是一个以(-1,-1)为圆心，根号3为半径的圆
此时令Z=x+y,y=-x+z
画图知，当此直线与圆相切时，有极大值和极小值，即其范围
将y=-x+z代入圆的方程中，即x^2+(z-x)^2+2z=1,化简，
2x^2-2xz+z^2+2z-1=0
依前面的分析，相切时有极值，即上述方程仅有一个根
判别式(-2z)^2-4*2*(z^2+2z-1)=0
z1=-2-根号6,z2=-2+根号6
所以范围是[-2-根号6,-2+根号6]
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同学有学过三角带换么？我用这个方法的。
原题可以转化成（x+1）^2+（y+1）^2=3
令x=根号3倍cosa-1
y=根号3倍sina-1
x+y=cosa+根号3倍sina-2
=根号3倍(sina+cosa)-2
=根号6倍sin（a+四分之派）-2
根号6倍sin（a+四分之派）属于负根号6到根号6
所以x...
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同学有学过三角带换么？我用这个方法的。
原题可以转化成（x+1）^2+（y+1）^2=3
令x=根号3倍cosa-1
y=根号3倍sina-1
x+y=cosa+根号3倍sina-2
=根号3倍(sina+cosa)-2
=根号6倍sin（a+四分之派）-2
根号6倍sin（a+四分之派）属于负根号6到根号6
所以x+y属于负根号6减2到根号6减2
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法一：(x+1)^2+(y+1)^2=3,三角换元令x=-1+√3sint,y=-1+√3cost
x+y=-2+√6sin(t+π/4),-2-√6<=x+y<=-2+√6
法二:设x+y=k，则平行直线y=-x+k与圆(x+1)^2+(y+1)^2=3相切时k有最大值和最小值，由圆心(-1,-1)到直线y=-x+k距离不大于半径得│k+2│/√2<=√3,
解得-...
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法一：(x+1)^2+(y+1)^2=3,三角换元令x=-1+√3sint,y=-1+√3cost
x+y=-2+√6sin(t+π/4),-2-√6<=x+y<=-2+√6
法二:设x+y=k，则平行直线y=-x+k与圆(x+1)^2+(y+1)^2=3相切时k有最大值和最小值，由圆心(-1,-1)到直线y=-x+k距离不大于半径得│k+2│/√2<=√3,
解得-2-√6<=k<=-2+√6，即x+y∈[-2-√6,-2+√6]
法三：由不等式x^2+y^2>=(1/2)(x+y)^2
所以x^2+y^2+2x+2y>=(1/2)(x+y)^2+2(x+y)
设x+y=t,则t^2+4t-2<=0,解得-2-√6<=t<=-2+√6
法四：由Cauchy不等式│x+1│+│y+1│≤√2[(x+1)^2+(y+1)^2]^(1/2)=√6
由绝对值不等式│(x+1)+(y+1)│≤│x+1│+│y+1│
两者连立得│(x+y)+2│≤√6
所以x+y∈[-2-√6<,-2+√6]
加油哈！
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