1、已知椭圆(X^2/A^2)+(Y^2/B^2)=1上任意一点M（除短轴端点外）与短轴两端点B1,B2的连线分别与X轴交于P,Q两点,O为椭圆中心.求证：|OP|·|OQ|为定值2、求证：等轴双曲线上任意一点到两渐近线的距离
来源：学生作业帮助网 编辑：六六作业网 时间：2024/12/22 18:53:03
1、已知椭圆(X^2/A^2)+(Y^2/B^2)=1上任意一点M（除短轴端点外）与短轴两端点B1,B2的连线分别与X轴交于P,Q两点,O为椭圆中心.求证：|OP|·|OQ|为定值2、求证：等轴双曲线上任意一点到两渐近线的距离
1、已知椭圆(X^2/A^2)+(Y^2/B^2)=1上任意一点M（除短轴端点外）与短轴两端点B1,B2的连线分别与X轴交于P,Q两点,O为椭圆中心.求证：|OP|·|OQ|为定值
2、求证：等轴双曲线上任意一点到两渐近线的距离之积是常数.
2题尽量用参数方程
1、已知椭圆(X^2/A^2)+(Y^2/B^2)=1上任意一点M（除短轴端点外）与短轴两端点B1,B2的连线分别与X轴交于P,Q两点,O为椭圆中心.求证：|OP|·|OQ|为定值2、求证：等轴双曲线上任意一点到两渐近线的距离
椭圆的参数方程为
x=acosβ,y=bsinβ
B1(0,b),B2(0,-b),M(acosβ,bsinβ)
B1M:y-b=b(1-sinβ)x/acosβ与X轴交点为
P（-acosβ/(1-sinβ),0）
同理可得：
Q (-acosβ/(1+sinβ),0)
|OP|·|OQ|=|acosβ/(1-sinβ)|·|acosβ/(1+sinβ)|
=a²
2）等轴双曲线的参数方程为
x=a·secβ,y=a·tanβ
等轴双曲线上任意一点P（a·secβ,a·tanβ）
到两条渐近线
x±y=0
的距离分别为D1=|a·secβ,a+tanβ|/√2
D2==|a·secβ,a-tanβ|/√2
D1·D2=a²/2
1.
设P(acosθ，bsinθ),B1(0,b),B2(0,-b)
OP=|b/k|=|b/[b(sinθ-1)/acosθ]|=acosθ/(1-sinθ)
OQ=|-b/k|=|-b/[b(sinθ+1)/acosθ]|=acosθ/(1+sinθ)
|OP|·|OQ|=a²cos²θ/[(1+sinθ)(1-sinθ)]=a²...
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1.
设P(acosθ，bsinθ),B1(0,b),B2(0,-b)
OP=|b/k|=|b/[b(sinθ-1)/acosθ]|=acosθ/(1-sinθ)
OQ=|-b/k|=|-b/[b(sinθ+1)/acosθ]|=acosθ/(1+sinθ)
|OP|·|OQ|=a²cos²θ/[(1+sinθ)(1-sinθ)]=a²cos²θ/(1-sin²θ)=a²为定值
所以，|OP|·|OQ|为定值
2.
设 x²/a²-y²/a²=1
所以 双曲线参数方程为x=a/cosθ，y=atanθ(θ为参数，θ∈[0,2π） ）
双曲线上点可表示为P(a/cosθ,atanθ)
渐近线为y=±x,即x+y=0和x-y=0
d1=|a/cosθ+atanθ|/根号2
d2=|a/cosθ-atanθ|/根号2
d1·d2=a²/2|(1/cosθ+tanθ)(1/cosθ-tanθ)|
=a²/2|1/cos²θ-tan²θ|=a²/2|1/cos²θ-sin²θ/cos²θ|
=a²/2|(1-sin²θ)/cos²θ|=a²/2为定值
所以等轴双曲线上任意一点到两渐近线的距离之积是常数。
I am Chris_wwk ，我相信这个问题会被撤销，为了采纳率就不登陆了。
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