微积分无穷小问题,求n
来源：学生作业帮助网 编辑：六六作业网 时间：2024/12/27 14:00:44
微积分无穷小问题,求n微积分无穷小问题,求n微积分无穷小问题,求n式子上方∫（2x-t）㏑(1+t)dt=2x∫㏑(1+t)dt-∫t㏑(1+t)dt(分部积分法)=2x[t㏑(1+t)-∫td㏑(1
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式子上方
∫（2x-t）㏑(1+t)dt
=2x∫ ㏑(1+t)dt-∫ t㏑(1+t)dt (分部积分法)
=2x[t㏑(1+t)-∫ td㏑(1+t)]-∫ t㏑(1+t)dt
=2x[t㏑(1+t)-∫t *1/(1+t)dt]-∫ t㏑(1+t)dt
T=∫t *1/(1+t)dt=∫[1-1/(1+t)]dt=t-㏑(1+t);
S= ∫ t㏑(1+t)dt=1/2∫㏑(1+t)dt²
=1/2t²㏑(1+t)-1/2∫t²/(1+t)dt
=1/2t²㏑(1+t)-1/2∫[(t-1)(t+1)+1]/(1+t)dt
=1/2t²㏑(1+t)-1/2∫(t-1)dt-1/2∫1/(1+t)dt;
=1/2t²㏑(1+t)-1/2(1/2t²-t)-1/2ln(1+t)
将S,T代入可得
∫（2x-t）㏑(1+t)dt=2x[t㏑(1+t)-T]--S
=2x[t㏑(1+t)-t-㏑(1+t)]--[1/2t²㏑(1+t)-1/2(1/2t²-t)-1/2ln(1+t)]
代入积分限可得上式等于
3/2 x²ln(1+x)-2xln(1+x)+1/4 x²+1/2ln(1+x)-1/2 x
当x趋于0时 3/2 x²ln(1+x)为三阶无穷小)
-2xln(1+x)+1/4 x²为二阶无穷小约等于-7/4 x²
ln(1+x)展开式为x-x²+2x³+o（x³）
所以1/2ln(1+x)-1/2 x=1/2[-x²+o(x²)]=-1/2 x²为二级无穷小
综上可得原式为二阶无穷小-7/4 x²-1/2 x²=-9/4 x²
所以n=2 k=-9/4
计算过程比较麻烦,如有错误敬请见谅!