无穷小微积分的优势究竟在哪里?
来源：学生作业帮助网 编辑：六六作业网 时间：2024/12/24 09:30:56
无穷小微积分的优势究竟在哪里?
无穷小微积分的优势究竟在哪里?
无穷小微积分的优势究竟在哪里?
condition for f to be continuous at x,∀ε[ε 0 ⇒ ∃δ(δ 0 ∧ ∀y[|x − y| < δ ⇒ |f (x) − f
(y)| < ε)]],
is equivalent to the
simpler *L formula∀y[y ≈ x ⇒ *f(y) ≈ *f(x)] ”
意思是说,函数f在x处的连续性的上述使用传统ε,δ语言L的表达式等价于（if andonly if）下面的无穷小表述语言*L公式的更为简介的表达方式,其中*f是函数f的在语言*L中的自然延伸函数.符号”≈“是在语言*L中是”无限接近于“的意思.注：符号”∀“代表“forAll”
,符号”∃“代表”ThereExists“.
什么是（一阶）逻辑语言?什么是超级结构?这就是数理逻辑”模型论“研究的课题了.由此,我们可以看出,在传统微积分中,人们使用了许多无穷小微积分的”说法“（句子）而不自知也,比如：“无限接近于”,”任意地小“,等等,整天周旋于限量词（quantifier）”∀、∃“来回颠倒的把戏,把学生搞得概念混乱、兴趣全无.
实际上,数理逻辑模型论并不神秘,只要踏踏实实地学习并不难于把握.问题在于,人们对于使用无穷小（数）存在着”心理障碍“,不愿意接纳它.但是,国外多年数学教学的实践表明：一般而言,美国的中学生却愿意大胆地向前走,接受无穷小的数学概念.对此,难道我们的孩子们都是傻子吗?非也.
实质上,无穷小微积分的最大优势在于：理论展开的始终,减少了限量词的交替现象,使得微积分理论体系得以极大的简化,易学易用.这就是2006年J.
Keisler论文”Quantifier inLimits“（“极限中的限量词”）里面的主要结论.
近十年来,高等无穷小分析的理论与应用进展很大,我们不想过多牵扯其中,以免转移学生的注意力.我们只做一件事情：普及无穷小微积分的基础知识,努力改进与完善普通高校的微积分教学的效果,把握住这个大方向丝毫不动摇.每年有上百万的学子在苦读微积分（高等数学）,这个事实要牢记在我们的心中.
说明：请参见《高等数学》第61页关于函数连续性的定义：函数f(x)在点x连续等价于：∀ε0
,∃δ0
,当|x−y|<δ时,有|f(x)−f(y)|<ε,
将此表达式与J.
Keisler的上述表达式：∀ε[ε 0 ⇒ ∃δ(δ 0 ∧ ∀y[|x − y| < δ ⇒ |f (x) − f
(y)| < ε)]],
相互对照,就可以看出,《高等数学》教材里面的限量词∀、∃、∀的作用域表达得不够清楚,容易引起同学们的误解,产生思维疲劳.一本全国通用国家级规划教材存在如此（多处的）疏漏是很不应该的.注意,J.
Keisler表达式里面有两层相互对应的方括号”[“
,我们要注意它们前后”括“在哪里.