已知f(x)=log[2](x+1),当点(x,y)在函数y=f(x)的图象上运动时,点(x/3,y/2)在函数y=g(x)的图象上运动,当x在[0,1]时,求g(x)-f(x)的最大值
来源：学生作业帮助网 编辑：六六作业网 时间：2024/11/24 17:48:03
已知f(x)=log[2](x+1),当点(x,y)在函数y=f(x)的图象上运动时,点(x/3,y/2)在函数y=g(x)的图象上运动,当x在[0,1]时,求g(x)-f(x)的最大值
已知f(x)=log[2](x+1),当点(x,y)在函数y=f(x)的图象上运动时,点(x/3,y/2)在函数y=g(x)的图象上运动,当x在[0,1]时,求g(x)-f(x)的最大值
已知f(x)=log[2](x+1),当点(x,y)在函数y=f(x)的图象上运动时,点(x/3,y/2)在函数y=g(x)的图象上运动,当x在[0,1]时,求g(x)-f(x)的最大值
由题意知y=g(x)：y/2 =log[2](x/3 + 1) ,化简得y=g（x）=2log[2](x/3 + 1)
令F(x)=g(x)-f(x)=2log[2](x/3 + 1)-log[2](x+1)
=2[log[2](x+3)-log[2]3]-log[2](x+1)
=log[2](x+3)^2/(x+1)-2log[2]3
因为y=(x+3)^2/(x+1)=[(x+1)^2+4(x+1)+4]/(x+1)=(x+1) + 4/(x+1) + 4
在（0,1）上递减,所以x=0时,取最大值y（max）=9
此时F（x）=F(x)(max)=log[2]9 - 2log[2]3 = 0
g(x)的解析式呢？
设点（X,Y)为g（x）上的点则
X=x/3；Y =y/2
即x=3X，y=2Y
代入f（x）得
2Y=log[2](3X+1),
∴g（x）=（1/2）*log[2](3x+1),
g(x)-f(x）=log[2]【根号(3x+1)/（x+1）】
令根号(3x+1)=t则x=（t^2-1)/3 因x在[0，1]则t在【1,2】
...
全部展开
设点（X,Y)为g（x）上的点则
X=x/3；Y =y/2
即x=3X，y=2Y
代入f（x）得
2Y=log[2](3X+1),
∴g（x）=（1/2）*log[2](3x+1),
g(x)-f(x）=log[2]【根号(3x+1)/（x+1）】
令根号(3x+1)=t则x=（t^2-1)/3 因x在[0，1]则t在【1,2】
根号(3x+1)/（x+1）=3t/（t^2+2)
对其求导得 （6-3*t^2)/(t^2+2)^2
当（6-3*t^2)/(t^2+2)^2=0时
函数g(x)-f(x）有最值
∴t=根号2时，即x=1/3时，
g(x)-f(x）=log[2]3-3/2
收起
由题设可知，y=f(x).y/2=g(x/3).===>f(x)=2g(x/3).===>g(x)=f(3x)/2.∴函数h(x)=g(x)-f(x)=[f(3x)/2]-f(x)=㏒2{[√(3x+1)]/(x+1)}.问题可化为求函数u(x)=[√(3x+1)]/(x+1)在[0,1]上的最大值。