曲线和曲面积分曲线积分和曲面积分中,对于一个这样的积分∫f(x,y,z)dx+g(x,y,z)dy+h(x,y,z)dz 能不能直接分解为∫f(x,y,z)dx∫ g(x,y,z)dy+∫h(x,y,z)dz有的题目中,直接这样分开利用各自的dx,dy,dx的积分限
来源：学生作业帮助网 编辑：六六作业网 时间：2024/11/25 08:51:20
曲线和曲面积分曲线积分和曲面积分中,对于一个这样的积分∫f(x,y,z)dx+g(x,y,z)dy+h(x,y,z)dz 能不能直接分解为∫f(x,y,z)dx∫ g(x,y,z)dy+∫h(x,y,z)dz有的题目中,直接这样分开利用各自的dx,dy,dx的积分限
曲线和曲面积分
曲线积分和曲面积分中,对于一个这样的积分∫f(x,y,z)dx+g(x,y,z)dy+h(x,y,z)dz 能不能直接分解为∫f(x,y,z)dx∫ g(x,y,z)dy+∫h(x,y,z)dz
有的题目中,直接这样分开利用各自的dx,dy,dx的积分限求解,结果和答案一样.可是有的时候又不行.这是怎么回事.
比如这个例题:∫L (x^2-2xy)dx+(y^2-2xy)dy,其中L是抛物线y=x^2上从点(-1,1)到点(1,1)的一段弧.如果分解开来做,取各自的积分限求解,dx积分限-1→1,dy积分限1→1,分别积分成 ∫(x^2-2xy)dx+∫(y^2-2xy)dy.得到的结果是5/6.但是答案是-14/15.
PS：最好能在说明一下,什么情况下可以这样算,什么时候不可以.
曲线和曲面积分曲线积分和曲面积分中,对于一个这样的积分∫f(x,y,z)dx+g(x,y,z)dy+h(x,y,z)dz 能不能直接分解为∫f(x,y,z)dx∫ g(x,y,z)dy+∫h(x,y,z)dz有的题目中,直接这样分开利用各自的dx,dy,dx的积分限
结果是-14/15 ,伙计,你对y轴积分的时候肯定积分错误了.我们来看,前半部∫L (x^2-2xy)dx=2/3 ,后半部分你肯定积分错误了.你是不是将y=x^2代入了∫(y²-2xy)dy中变为了∫(x^4-2x^3)2xdx 你这样代入进去后又变了对x的积分了,不是对y的积分.当然这样也行,而且更简单 ∫(-1→1)(x^4-2x^3)2xdx=-8/5 ,我这里完全用对y轴的积分计算你看看,如下：
因为对y=x^2对y轴投影时是一个双值函数,x=±√y ,在y轴的左半部分取负,右半部分去正,再将这个x=±√y分别代入∫(y²-2xy)dy ,就变为了∫（1→0）（y²+2y^3/2)dy + ∫（0→1）（y²-2y^3/2)dy 的样子,最后积分=-8/5,于是原式=2/3+（-8/5）=-14/15
顺便告诉你∫f(x,y,z)dx+g(x,y,z)dy+h(x,y,z)dz 都可以拆开积分,只是你积分时要注意.它本来就是组合积分,为什么不能拆开?为什么要组合它,就是为了好用斯托克斯公式去简化计算.