正四棱柱ABCD-A1B1C1D1的底面是菱形,F为棱BB1中点,M为线段AC1中点,证MF‖平面ABCD;平面AFC1⊥平面ACC1A
来源：学生作业帮助网 编辑：六六作业网 时间：2024/12/19 08:11:45
正四棱柱ABCD-A1B1C1D1的底面是菱形,F为棱BB1中点,M为线段AC1中点,证MF‖平面ABCD;平面AFC1⊥平面ACC1A
正四棱柱ABCD-A1B1C1D1的底面是菱形,F为棱BB1中点,M为线段AC1中点,证MF‖平面ABCD;平面AFC1⊥平面ACC1A
正四棱柱ABCD-A1B1C1D1的底面是菱形,F为棱BB1中点,M为线段AC1中点,证MF‖平面ABCD;平面AFC1⊥平面ACC1A
1.连接BD,B1D1,AC,A1C1,设AC交BD于O,A1C1交B1D1于O1,连接O O1
由正四棱柱关系知,BB1‖DD1,AA1‖CC1,故A、C、C1、A1四点共面,B、D、D1、B四点共面,又由于任意棱垂直于底面上任意直线这一条性质,可以得出四边形ACC1A1与BDD1B1都是矩形这个结论,而O O1既在面ACC1D1上也在面BDD1B1上,是这两个面的交线,取O O1中点M'
根据棱柱性质,有棱垂直于底面,故有任意一条棱垂直于底面上的任一条直线,故有BD⊥AA1,而由于棱柱底面为菱形,故对角线AC⊥BD,所以BD⊥面ACC1A1,故BD⊥0 01（垂直于的直线与面上所有直线皆垂直）,由于可以轻易得出BB1⊥BD,故有BB1‖O O1,可知0 01=BB1
连接B1D,交0 01于M'',由菱形性质知,O为BD中点,根据直线分平行线的比例性质可知M''是B1D的中点,且有OM''=BB1 /2=0 01,所以M''为0 01中点,故M'与M''重合,即M'既为B1D中点,也是O O1中点
同理,在矩形ACC1A1中,有AA1‖0 01,可得0 01=AA1,同样能够证明AC1中点M与O 01中点M'重合,故M点亦为B1D中点
在△BB1D中,由于F,M分别为BB1与B1D的中点,所以有FM‖BD,而BD在面ABCD上,且F,M点均不在面ABCD上,所以有FM‖面ABCD
2.由棱柱性质可知：AB=B1C1,∠ABF=∠FB1C1=90度,而F为BB1中点,有BF=FB1,于是△ABF≌△FB1C1,所以有AF=FC1,△AFC1为等腰三角形,又由于M为底边的中点,于是FM是AC1边的高,FM⊥AC1
前方已证FM‖BD,而BD⊥AC,所以FM⊥AC,所以FM垂直于面ACC1A1中两条相交直线AC1,AC,于是有FM⊥面ACC1A1,而FM在面AFC1上,故两个平面垂直