奥数解答【完全平方数】1、400以内,有奇数个因数的自然数有哪些?这些自然数中因数最多的有多少个因数?2、是否存在一个自然数a,使得a+7,a-7都是完全平方数?3、一个数减去100是一个平方数,
来源：学生作业帮助网 编辑：六六作业网 时间：2024/12/22 20:42:42
奥数解答【完全平方数】1、400以内,有奇数个因数的自然数有哪些?这些自然数中因数最多的有多少个因数?2、是否存在一个自然数a,使得a+7,a-7都是完全平方数?3、一个数减去100是一个平方数,
奥数解答【完全平方数】
1、400以内,有奇数个因数的自然数有哪些?这些自然数中因数最多的有多少个因数?
2、是否存在一个自然数a,使得a+7,a-7都是完全平方数?
3、一个数减去100是一个平方数,减去81也是一个平方数,问这个数是多少?
奥数解答【完全平方数】1、400以内,有奇数个因数的自然数有哪些?这些自然数中因数最多的有多少个因数?2、是否存在一个自然数a,使得a+7,a-7都是完全平方数?3、一个数减去100是一个平方数,
400以内,有奇数个因数的自然数有1^2,2^2.20^2
因数最多的12^2和18^2,15个.
a+7=m^2
a-7=n^2
14=(m+n)(m-n)
(m+n)(m-n)奇偶性相同
14不是4倍数.
矛盾~
不存在~
x-100=m^2
x-81=n^2
(n+m)(n-m)=19
n+m=19
n-m=1
n=10
m=9
x=181
【欢迎追问,】
23
3
132
3
3
11
13
3131
1
1. 奇数个因数的自然数说明是完全平方数，所以有下列数的平方：2,3,4,5，。。。19及4,9,16,25，。。。361共18个.这些自然数中因数最多是144，有15个因数。
2. 不存在
3.181
1、只有完全平方数的因数是奇数个。
则400以内的完全平方数有：1、4、9、16、25、36、49、64、81、100、121、144、169、196、225、256、289、324、361和400共20个。这些数中，设每个数都是x（代表任意数）的平方，那么x的因数越多，x的平方的因数也越多。
当x=12时，x的因数有：1、2、3、4、6、12六个
当x=16时，x的因数有...
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1、只有完全平方数的因数是奇数个。
则400以内的完全平方数有：1、4、9、16、25、36、49、64、81、100、121、144、169、196、225、256、289、324、361和400共20个。这些数中，设每个数都是x（代表任意数）的平方，那么x的因数越多，x的平方的因数也越多。
当x=12时，x的因数有：1、2、3、4、6、12六个
当x=16时，x的因数有：1、2、4、8、16五个
当x=18时，x的因数有：1、2、3、6、9、18六个
当x=20时，x的因数有：1、2、4、5、10、20六个
那么，也就是说这些数中12²（144）、18²（324）、20²（400）的因数可能最多。
接下来分解质因数。
144=2^4×3²，因数有15个
324=2²×3^4，因数有15个
400=2^4×5²，因数有15个
2、设a+7=x²，a-7=y²。
利用平方差公式，可得：
（x+y）（x-y）=x²-y²
即（x+y）（x-y）=（a+7）-（a-7）=14
又因为（x+y）和（x-y）奇偶性相同。
所以它们必然是奇数或4的倍数
又14既不是奇数又不是4的倍数
所以不存在这样的数。
3、设这个数为x，设x-100是A的平方，x-81是B的平方
由平方差公式可得：
（B-A）（B+A）=（x-81）-（x-100）=19
因为19=1×19
所以B-A=1，B+A=19
即（下面是标准二元一次方程解法，若未学过可以用和差问题的解法来做）
A=B-1
代入，得
B+B-1=19
得2B=20
B=10。
A=9
即x=10²+81（或9²+100）=181.
没有写答，应该不影响吧？
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