1.矩阵的特征值分解和奇异值分解有什么不同?2.自相关矩阵都能对角化吗?对于第二个问题，如果不能都对角化，请给出理由

1.矩阵的特征值分解和奇异值分解有什么不同?2.自相关矩阵都能对角化吗?对于第二个问题，如果不能都对角化，请给出理由
1.矩阵的特征值分解和奇异值分解有什么不同?
2.自相关矩阵都能对角化吗?
对于第二个问题，如果不能都对角化，请给出理由

1.矩阵的特征值分解和奇异值分解有什么不同?2.自相关矩阵都能对角化吗?对于第二个问题，如果不能都对角化，请给出理由
1.对于特征值分解 [v,d] = eig( A ) ,我们有这样的关系 A = v*d*inv(v)
特征值分解中有一种特殊的分解,叫正交分解.正交分解其实就是对称阵的特征值分解,[v,d] = eig(B ) ,B = v*d*inv(v); 由于正交分解得到的正交阵满足如下的关系:v*v' = I,所以有 v'=inv(v); 那么也就有 B = v*d*v';
对于奇异值分解,其分解的基本形式为 [u,s,v] = svd(C),C = u*s*v'.若C阵为对称的方阵,则有 u = v; 所以有 C = v*s*v';
所有的矩阵都可以进行奇异值分解,不管其是否是方阵以及对称矩阵.当所给的矩阵是对称的方阵,A(T)=A,二者的结果是相同的.也就是说对称矩阵的特征值分解是所有奇异值分解的一个特例.
但是二者还是存在一些小的差异,奇异值分解需要对奇异值从大到小的排序,而且全部是大于等于零.
在应用层面上,信号处理中常常遇到一些降维,主分量分析等等的处理需要用到奇异值分解.一般来讲,奇异值分解应用的范围比较广泛.
比如说,对于一个零均值的信号的自相关矩阵CX = X'X,对CX进行奇异值分解和特征值分解,基本上是相似的,但还要注意的是奇异值是由大到小的排序.
所以由上述,二者单纯在数学意义上,在特定的情况下,还是有一定的联系的.若有不对的地方,还请指教!
2.能.

在信号处理中经常碰到观测值的自相关矩阵，从物理意义上说，如果该观测值是由几个（如 K 个）相互统计独立的源信号线性混合而成，则该相关矩阵的秩或称维数就为 K，由这 K 个统计独立信号构成 K 维的线性空间，可由自相关矩阵最大 K 个特征值所对应的特征向量或观测值矩阵最大 K 个奇异值所对应的左奇异向量展成的子空间表示，通常称信号子空间，它的补空间称噪声子空间，两类子空间相互正交。理论上，由于噪声的...

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在信号处理中经常碰到观测值的自相关矩阵，从物理意义上说，如果该观测值是由几个（如 K 个）相互统计独立的源信号线性混合而成，则该相关矩阵的秩或称维数就为 K，由这 K 个统计独立信号构成 K 维的线性空间，可由自相关矩阵最大 K 个特征值所对应的特征向量或观测值矩阵最大 K 个奇异值所对应的左奇异向量展成的子空间表示，通常称信号子空间，它的补空间称噪声子空间，两类子空间相互正交。理论上，由于噪声的存在，自相关矩阵是正定的，但实际应用时，由于样本数量有限，可能发生奇异，矩阵条件数无穷大，造成数值不稳定，并且自相关矩阵特征值是观测值矩阵奇异值的平方，数值动态范围大，因而子空间分析时常采用观测值矩阵奇异值分解，当然奇异值分解也可对奇异的自相关矩阵进行。在自相关矩阵正定时，特征值分解是奇异值分解的特例，且实现时相对简单些，实际中，常采用对角加载法保证自相关矩阵正定，对各特征子空间没有影响。在信号处理领域，两者都用于信号的特征分析，但两者的主要区别在于：奇异植分解主要用于数据矩阵，而特征植分解主要用于方型的相关矩阵

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1、矩阵的特征值分解和奇异值分解有什么不同？
在信号处理领域，两者都用于信号的特征分析，但两者的主要区别在于：奇异植分解主要用于数据矩阵，而特征植分解主要用于方型的相关矩阵。两者当然不同，信号空间的特征值是相应奇异值的平方，特征值分解遇见矩阵奇异时需另加一些处理手段，而奇异值分解则可直接进行，但两者理论上得到的特征信号空间是一致的。因两者数据域不同，当数据较少时，一般采用奇异值分解，当数据...

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1、矩阵的特征值分解和奇异值分解有什么不同？
在信号处理领域，两者都用于信号的特征分析，但两者的主要区别在于：奇异植分解主要用于数据矩阵，而特征植分解主要用于方型的相关矩阵。两者当然不同，信号空间的特征值是相应奇异值的平方，特征值分解遇见矩阵奇异时需另加一些处理手段，而奇异值分解则可直接进行，但两者理论上得到的特征信号空间是一致的。因两者数据域不同，当数据较少时，一般采用奇异值分解，当数据足够多时，一般采用特征值分解更合算些。当然，在比特位有限的情况下，采用奇异值分解数值误差会小些。
简单的讲 所有的矩阵都可以进行奇异值分解，不管其是否是方阵以及对称矩阵。当所给的矩阵是对称的方阵，A(T)=A，二者的结果是相同的。也就是说对称矩阵的特征值分解是所有奇异值分解的一个特例。
但是二者还是存在一些小的差异，奇异值分解需要对奇异值从大到小的排序，而且全部是大于等于零。
在应用层面上，信号处理中常常遇到一些降维，主分量分析等等的处理需要用到奇异值分解。一般来讲，奇异值分解应用的范围比较广泛。
比如说，对于一个零均值的信号的自相关矩阵CX = X'X，对CX进行奇异值分解和特征值分解，基本上是相似的，但还要注意的是奇异值是由大到小的排序。

在信号处理中经常碰到观测值的自相关矩阵，从物理意义上说，如果该观测值是由几个（如 K 个）相互统计独立的源信号线性混合而成，则该相关矩阵的秩或称维数就为 K，由这 K 个统计独立信号构成 K 维的线性空间，可由自相关矩阵最大 K 个特征值所对应的特征向量或观测值矩阵最大 K 个奇异值所对应的左奇异向量展成的子空间表示，通常称信号子空间，它的补空间称噪声子空间，两类子空间相互正交。理论上，由于噪声的存在，自相关矩阵是正定的，但实际应用时，由于样本数量有限，可能发生奇异，矩阵条件数无穷大，造成数值不稳定，并且自相关矩阵特征值是观测值矩阵奇异值的平方，数值动态范围大，因而子空间分析时常采用观测值矩阵奇异值分解，当然奇异值分解也可对奇异的自相关矩阵进行。在自相关矩阵正定时，特征值分解是奇异值分解的特例，且实现时相对简单些，实际中，常采用对角加载法保证自相关矩阵正定，对各特征子空间没有影响。
在一般意义上二者的结果形式是不同的.但在某种特定的情况下,二者还是有一些联系的. 下面我们就来仔细的分析它们的联系.
对于特征值分解 [v,d] = eig( A ) , 我们有这样的关系 A = v*d*inv(v)
特征值分解中有一种特殊的分解, 叫正交分解. 正交分解其实就是对称阵的特征值分解, [v,d] = eig(B ) , B = v*d*inv(v); 由于正交分解得到的正交阵满足如下的关系: v*v' = I,所以有 v'=inv(v); 那么也就有 B = v*d*v';
对于奇异值分解,其分解的基本形式为 [u,s,v] = svd(C), C = u*s*v'. 若C阵为对称的方阵, 则有 u = v; 所以有 C = v*s*v';
第2个我真的残了，

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1，特征：特殊本质（一物区别它物）
奇异：偶然发生
2，部分可以
全部不行

（1）在信号处理领域，两者都用于信号的特征分析，但两者的主要区别在于：奇异植分解主要用于数据矩阵，而特征植分解主要用于方型的相关矩阵
（2）能

1+1=?
1+2=?

shenfm ，你好：
矩阵的特征值分解和奇异值分解定理:（奇异值分解）设A为m*n阶复矩阵，则存在m阶酉阵U和n阶酉阵V，使得:A = U*S*V’
其中S=diag(σi,σ2,……,σr)，σi>0 (i=1,…,r)，r=rank(A)。
推论：设A为m*n阶实矩阵，则存在m阶正交阵U和n阶正交阵V，使得A = U*S*V’
其中S=dia...

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shenfm ，你好：
矩阵的特征值分解和奇异值分解定理:（奇异值分解）设A为m*n阶复矩阵，则存在m阶酉阵U和n阶酉阵V，使得:A = U*S*V’
其中S=diag(σi,σ2,……,σr)，σi>0 (i=1,…,r)，r=rank(A)。
推论：设A为m*n阶实矩阵，则存在m阶正交阵U和n阶正交阵V，使得A = U*S*V’
其中S=diag(σi,σ2,……,σr)，σi>0 (i=1,…,r)，r=rank(A)。
1、奇异值分解非常有用，对于矩阵A(m*n)，存在U(m*m)，V(n*n)，S(m*n)，满足A = U*S*V’。U和V中分别是A的奇异向量，而S是A的奇异值。AA'的正交单位特征向量组成U，特征值组成S'S，A'A的正交单位特征向量组成V，特征值（与AA'相同）组成SS'。因此，奇异值分解和特征值问题紧密联系。
2、奇异值分解提供了一些关于A的信息，例如非零奇异值的数目（S的阶数）和A的秩相同，一旦秩r确定，那么U的前r列构成了A的列向量空间的正交基。关于奇异值分解中当考虑的对象是实矩阵时: S对角元的平方恰为A'A特征值的说明. (对复矩阵类似可得)
从上面我们知道矩阵的奇异值分解为: A=USV, 其中U,V是正交阵(所谓B为正交阵是指B'=B-1, 即B'B=I), S为对角阵.
A'A=V'S'U'USV=V'S'SV=V-1S2V
上式中, 一方面因为S是对角阵, S'S=S2, 且S2对角元就是S的对角元的平方. 另一方面注意到A'A是相似与S2的, 因此与S2有相同特征值.其实奇异值可以认为是一种特殊的矩阵范数！
（2）是不行的，我们先来看自相关矩阵的定义：以X{x1,x2,...,xn}为列,Y{y1,y2,...,yn}为行，排列成rij的矩阵，若符合关系R,则显示为1，否则为0。以此判断X,Y的关系。
我们再来看矩阵可以对角化的几个判定条件，比较常用的充要条件：
1.A的极小多项式没有重根
2.A的Jordan块都是1x1的
3.A在复数域上的初等因子都是1次多项式
4.A具有完全特征向量系
比较常用的充分条件：
1.A没有重特征值
2.A是正规阵(AA'=A'A)

证明：设矩阵A为n阶矩阵，A不能对角化，说明A的Jondan标准型中，至少有一个二阶以上的Jondan块，不妨假设特征值x1是一个二重特征根，对应有一个二阶Jondan块,其余特征值为x2,x3,...。
设A的Jondan标准型为：
J=
x1 1 0 0 0 ... 0
0 x1 0 0 0 ... 0
0 0 x2 0 0 ... 0
0 0 0 x3 0 ... 0
...
0 0 0 0 0 ... xn-1
于是A=P^(-1)JP,其中P为可逆阵
考察矩阵(A-x1I)
A-x1I
=P^(-1)JP-x1I
=P^(-1)[J-x1I]P
所以rank(A-x1I)=rank(J-x1I)
J-x1I=
0 1 0 0 0 ... 0
0 0 0 0 0 ... 0
0 0 x2-x1 0 0 ... 0
0 0 0 x3-x1 0 ... 0
...
0 0 0 0 0 ... xn-1 - x1
rank(J-x1I)=n-1=rank(A-x1I)
对应于特征值x1的特征向量就是方程(A-xI)=0的解，系数矩阵秩为n-1，方程个数为n,所以基础解系只有一个解向量。
这个例子里，二重特征根只有一个线性无关的特征向量。
可以看到，k重特征根的线性无关的特征向量数，就是取决于Jondan标准型的状态。例如：一个5重特征根。
如果对应于一个5阶Jondan块，那么线性无关的特征向量有1个。
如果对应于一个2阶Jondan块和一个3阶Jondan块，那么线性无关的特征向量有2个。
...
如果对应于5个1阶Jondan块，那么线性无关的特征向量有5个。其实这时就是可对角化了，因为没有2阶以上Jondan块。

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