已知点A（1,0）,B（0,1）,C(2sinθ,cosθ）（1）若丨向量AC丨=丨向量BC丨,求tanθ的值； （2）若（向量OA+2向量OB）,向量OC=1,其中O为坐标原点,求sin2θ的值
来源：学生作业帮助网 编辑：六六作业网 时间：2024/12/19 05:07:11
已知点A（1,0）,B（0,1）,C(2sinθ,cosθ）（1）若丨向量AC丨=丨向量BC丨,求tanθ的值； （2）若（向量OA+2向量OB）,向量OC=1,其中O为坐标原点,求sin2θ的值
已知点A（1,0）,B（0,1）,C(2sinθ,cosθ）
（1）若丨向量AC丨=丨向量BC丨,求tanθ的值； （2）若（向量OA+2向量OB）,向量OC=1,其中O为坐标原点,求sin2θ的值
已知点A（1,0）,B（0,1）,C(2sinθ,cosθ）（1）若丨向量AC丨=丨向量BC丨,求tanθ的值； （2）若（向量OA+2向量OB）,向量OC=1,其中O为坐标原点,求sin2θ的值
(1) AC = (2sinθ,cosθ) - (1,0) = (2sinθ - 1,cosθ)
BC = (2sinθ,cosθ) - (0,1) = (2sinθ,cosθ - 1)
∵∣AC∣= ∣BC∣
∴√[(2sinθ - 1)² + cos²θ] = √[2sin²θ + (cosθ - 1)²]
两边平方,化简:4sin²θ - 4sinθ +1 + cos²θ = 4sin²θ + cos²θ - 2cosθ + 1
- 4sinθ = - 2cosθ (cosθ ≠ 0)
tanθ = 1/2
(2) 已知条件是(OA + 2OB) • OC = 1吗?
若是这样的话,解法如下:
[(1,0) + 2(0,1)] • (2sinθ,cosθ) = 1
(1,2) • (2sinθ,cosθ) = 1
2sinθ + 2cosθ = 1
sinθ + cosθ = 1/2
两边平方,得:(sinθ + cosθ)² = (1/2)² (注意,此技巧经常会用到:(sinθ + cosθ)²会得到sinθcosθ,或 sin2θ的条件)
sin²θ + 2sinθcosθ + cos²θ = 1/4
1 + 2sinθcosθ = 1/4
1 + sin2θ = 1/4
∴ sin2θ = -3/4