已知双曲线C的中点在原点,焦点在x轴上,点P(-2,0)与其渐进线的距离为(根号10)/5,过P作斜率为1/6的直线交双曲线于A,B两点,交y轴于点M,且PM是PA与PB的等比中项,求双曲线的渐近线方程
来源:学生作业帮助网 编辑:六六作业网 时间:2024/11/21 21:39:43
已知双曲线C的中点在原点,焦点在x轴上,点P(-2,0)与其渐进线的距离为(根号10)/5,过P作斜率为1/6的直线交双曲线于A,B两点,交y轴于点M,且PM是PA与PB的等比中项,求双曲线的渐近线方程
已知双曲线C的中点在原点,焦点在x轴上,点P(-2,0)与其渐进线的距离为(根号10)/5,过P作斜率为1/6的
直线交双曲线于A,B两点,交y轴于点M,且PM是PA与PB的等比中项,求双曲线的渐近线方程
已知双曲线C的中点在原点,焦点在x轴上,点P(-2,0)与其渐进线的距离为(根号10)/5,过P作斜率为1/6的直线交双曲线于A,B两点,交y轴于点M,且PM是PA与PB的等比中项,求双曲线的渐近线方程
设双曲线的方程为:(X的方)/a的方-(Y的方)/b的方=1———(1),其渐近线的方程为:Y=(b/a)*X,Y=(-b/a)*X,即bX-aY=0,bX+aY=0,所以P(-2,0)到渐近线的距离:(根号下10)/5=|b*(-2)+(-a)*0|/根号下(a的方+b的方),化简得:a的方=9*(b的方)———(2),直线PB的方程为:Y=(1/6)*(X+2)———(3),将方程(1)、(3)联立求解并运用韦达定理得:X1+X2=(4*a的方)/[36*(b的方)-a的方],X1X2=(-4*a的方-36*a的方*b的方)/(36*b的方-a的方),Y1+Y2=(24*b的方)/(36*b的方-a的方),Y1Y2=(4*b的方-a的方*b的方)/(36*b的方-a的方);在(3)中,令X=0,得Y=1/3,所以M点的坐标为(0,1/3),|PM|=根号下[2的方+(1/3)的方]=(根号下37)/3,设A、B两点的坐标分别为(X1,Y1)、(X2,Y2),向量PA*向量PB=(X1+2,Y1)*(X2+2,Y2)=X1X2+2(X1+X2)+Y1Y2+4,将以上(X1X2)、(X1+X2)、(Y1Y2)的值代入得:向量PA*向量PB=(148*b的方-37*a的方*b的方)/(36*b的方-a的方),又:向量PA*向量PB=|PA|*|PB|*cos0度=|PA|*|PB|,由PM是PA与PB的等比中项有:|PM|的方=|PA|*|PB|,即:37/9=(148*b的方-37*a的方*b的方)/(36*b的方-a的方),解之得:b=1/3,将b代入(2)得:a=1,所以双曲线的渐近线方程为:Y=(1/3)*X,Y=(-1/3)*X