已知抛物线C:y^2=2px(p>0),若抛物线C上存在两点关于直线L:x+y=1对称,求实数p的范围
来源：学生作业帮助网 编辑：六六作业网 时间：2025/01/22 21:57:02
已知抛物线C:y^2=2px(p>0),若抛物线C上存在两点关于直线L:x+y=1对称,求实数p的范围
已知抛物线C:y^2=2px(p>0),若抛物线C上存在两点关于直线L:x+y=1对称,求实数p的范围
已知抛物线C:y^2=2px(p>0),若抛物线C上存在两点关于直线L:x+y=1对称,求实数p的范围
因为两点关于直线L：x+y=1对称,所以该两点位于直线 y=x+t 上,且其中点位于直线L上.
设两点为(x1,y1)和(x2,y2)
联立 y^2=2px(p>0) 和 y=x+t 消去x,得 y^2=2p(y-t),整理得 y^2-2py+2pt=0
判别式Δ=4p^2-8pt>0,因为p>0,所以 p-2t>0……①
根据韦达定理 y1+y2=2p,其中点的纵坐标 (y1+y2)/2=p,而其中点的横坐标 (x1+x2)/2=(y1-t+y2-t)/2=(y1+y2)/2-t=p-t,而该点位于直线L上,所以 p+p-t=1,即 t=2p-1……②
把②代入①得 p-2(2p-1)>0,解得 p0,所以 0
设这两点A(x1,y1) B(x2,y2) C为AB的中点(x0,y0)
将A、B代入抛物线方程
得y1^2=2px1…p y2^2=2px2…q
q-p得y2^2-y1^2=2p(x2-x1) => (y2-y1)(y2+y1)=2p(x2-x1)
整理得(y2-y1)/(x2-x1)=2p/(y2+y1) => kAB=p/y0
因为直线AB垂直于L<...
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设这两点A(x1,y1) B(x2,y2) C为AB的中点(x0,y0)
将A、B代入抛物线方程
得y1^2=2px1…p y2^2=2px2…q
q-p得y2^2-y1^2=2p(x2-x1) => (y2-y1)(y2+y1)=2p(x2-x1)
整理得(y2-y1)/(x2-x1)=2p/(y2+y1) => kAB=p/y0
因为直线AB垂直于L
所以KAB=1
所以p=y0
因为C点在直线L上
所以y0+x0=1 又 p=y0
所以p+x0=1 p=1-x0
因为x0>0
所以p>1
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抛物线C上存在两点（y0²/2p，y0）和（y1²/2p，y1），
通过它们的直线的斜率 K=(y1-y0)/(y1²/2p-y0²/2p)=2p/(y0+y1)，
中点为[（y0²/2p+y1²/2p）/2，(y0+y1)/2 ] = [ (y0²+y1²)/4p，(y0+y1)/2 ]，
则...
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抛物线C上存在两点（y0²/2p，y0）和（y1²/2p，y1），
通过它们的直线的斜率 K=(y1-y0)/(y1²/2p-y0²/2p)=2p/(y0+y1)，
中点为[（y0²/2p+y1²/2p）/2，(y0+y1)/2 ] = [ (y0²+y1²)/4p，(y0+y1)/2 ]，
则它们的垂直平分线的方程为
y=-(y0+y1)/2p[x-(y0²+y1²)/4p]+(y0+y1)/2
=-(y0+y1)/2p x +(y0+y1)(y0²+y1²)/8p²+(y0+y1)/2
令该直线为 x+y=1即y=-x+1，
则 (y0+y1)/2p=1，①
(y0+y1)(y0²+y1²)/8p²+(y0+y1)/2=1 ，②
由①得 y0+y1=2p，③
代人②得 y0²+y1²=4p-4p^2≥(y0+y1)²/2=2p²，
即p（3p-2）≤0，
得 0＜p≤2/3.
收起