在三角形ABC中,角BAC是90度,AD垂直BC,BE、AF分别是角ABC、角DAC的平分线,BE和AD交于G,BE和AF交于O,证明：GF平行于AC
来源：学生作业帮助网 编辑：六六作业网 时间：2024/11/22 22:30:02
在三角形ABC中,角BAC是90度,AD垂直BC,BE、AF分别是角ABC、角DAC的平分线,BE和AD交于G,BE和AF交于O,证明：GF平行于AC
在三角形ABC中,角BAC是90度,AD垂直BC,BE、AF分别是角ABC、角DAC的平分线,BE和AD交于G,BE和AF交于O,
证明：GF平行于AC
在三角形ABC中,角BAC是90度,AD垂直BC,BE、AF分别是角ABC、角DAC的平分线,BE和AD交于G,BE和AF交于O,证明：GF平行于AC
在RT△ABC中,AD⊥CB,易得∠B=∠DAC,∠C=∠BAD,
∵∠BAF=∠BAD+∠DAF
∠BFA=∠C+∠CAF (AF平分角DAC)
=∠BAD+∠DAF
∴∠BAF=∠BFA
在△BAO与△BFO中
∠BAF=∠BFA (BE平分角ABC)
∠ABO=∠FBO
BO=BO
∴△BAO≌△BFO
=>AO=FO,∠GOA=∠GOF=90°
在△GAO与△GFO中
AO=FO,
∠GOA=∠GOF=90°,
GO=GO,
∴△GAO≌△GFO
=>∠GFA=∠GAF=∠FAC
∴GF∥AC
只需用到这样一个定理：三角形顶角平分线将底边分成的两部分的比等于另外两条边的比。
本题：
AG：GD=AB：BD，CF：FD=AC：AD
而AB：BD=AC：AD（两直角三角形相似）
所以AG：GD=CF：FD
所以GF平行于AC。
在RT△ABC中，AD⊥CB，∠B=∠DAC,∠C=∠BAD,
∵∠BAF=∠BAD+∠DAF
∠BFA=∠C+∠CAF (AF平分角DAC)
=∠BAD+∠DAF
∴∠BAF=∠BFA
在△BAO与△BFO中
｛∠BAF=∠BFA (BE平分角ABC)
∵｛∠ABO=∠FBO
｛B...
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在RT△ABC中，AD⊥CB，∠B=∠DAC,∠C=∠BAD,
∵∠BAF=∠BAD+∠DAF
∠BFA=∠C+∠CAF (AF平分角DAC)
=∠BAD+∠DAF
∴∠BAF=∠BFA
在△BAO与△BFO中
｛∠BAF=∠BFA (BE平分角ABC)
∵｛∠ABO=∠FBO
｛BO=BO
∴△BAO≌△BFO
∴AO=FO,∠GOA=∠GOF=90°
在△GAO与△GFO中
｛AO=FO,
∵｛∠GOA=∠GOF=90°,
｛GO=GO,
∴△GAO≌△GFO
∴∠GFA=∠GAF=∠FAC
∴GF∥AC
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