什么是非负整数、正整数、整数、有理数、实数?
来源：学生作业帮助网 编辑：六六作业网 时间：2024/12/18 15:54:55
什么是非负整数、正整数、整数、有理数、实数?
什么是非负整数、正整数、整数、有理数、实数?
什么是非负整数、正整数、整数、有理数、实数?
正整数： 大于0的整数
整数：自然数 (例如 1、2、3)、负的自然数 (例如 ?1、?2、?3) 与零合起来统称为整数.
有理数：数学上,有理数是一个整数 a 和一个非零整数 b 的比(ratio),通常写作 a/b,故又称作分数.希腊文称为 λογο? ,原意为“成比例的数”(rational number),但中文翻译不恰当,逐渐变成“有道理的数”.不是有理数的实数遂称为无理数.有理数的小数部分有限或为循环.
实数：数学上,实数直观地定义为和数线上的点一一对应的数.本来实数只唤作数,后来引入了虚数概念,原本的数称作“实数”——意义是“实在的数”.实数可以分为有理数和无理数两类,或代数数和超越数两类,或正数,负数和零三类.实数集合通常用字母 R 或 表示.而 Rn 表示 n 维实数空间.实数是不可数的.实数是实分析的核心研究对象.实数可以用来测量连续的量.理论上,任何实数都可以用无限小数的方式表示,小数点的右边是一个无穷的数列（可以是循环的,也可以是非循环的）.在实际运用中,实数经常被近似成一个有限小数（保留小数点后 n 位,n 为正整数）.
实数的定义：
从有理数构造实数
实数可以不同方式从有理数构造出来.这里给出其中一种,其他方法请详见实数的构造.
公理的方法设R 是所有实数的集合,则：
集合R 是一个域： 可以作加、减、乘、除运算,且有如交换律,结合律等常见性质.
域R 是个有序域,即存在全序关系 ≥ ,对所有实数 x, y 和 z：
若x ≥ y 则 x + z ≥ y + z；
若x ≥ 0 且 y ≥ 0 则 xy ≥ 0.
集合R 满足戴德金完备性,即任意 R 的非空子集 S (S属于R,S不等于0),若 S 在 R 内有上界,那幺 S 在 R 内有上确界.
最后一条是区分实数和有理数的关键.例如所有平方小于 2 的有理数的集合存在有理数上界,如 1.5；但是不存在有理数上确界（因为√２ 不是有理数）.
实数通过上述性质唯一确定.更准确的说,给定任意两个戴德金完备的有序域 R1 和 R2,存在从 R1 到 R2 的唯一的域同构,即代数学上两者可看作是相同的.